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吴国平:学习几何很累, 要学会和它成为朋友

原标题:吴国平:学习几何很累, 要学会和它成为朋友

几何综合问题是很多考生的“恶梦”,此类题型不仅要求考生具有一定层次、深度的推理过程,更考查考生的逻辑思维能力、基本图形分析能力和数学语言的表达能力等等,自然这类题型受到命题老师的青睐。

几何综合问题以几何知识为载体,突出了对几何基本图形掌握情况的考查、数学逻辑思维能力和数学表达能力的考查。一般情况下,几何综合问题中出现的几何图形都是学生平时学习中常见的基本图形。此类题型在近几年的中考试题中往往有起点不高、但要求较全面的特点。常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角相结合的综合性试题。

同时会考查学生初中数学中最重要的数学思想:数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。

典型例题1:

考点分析:

切线的性质.

题干分析:

(1)连接OB,根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°,推出∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠CPA=90°,求出∠ACP=∠ABC,根据等腰三角形的判定推出即可;

(2)延长AP交⊙O于D,连接BD,设圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5﹣r,根据AB=AC推出52﹣r2=(2)2﹣(5﹣r)2,求出r,证△DPB∽△CPA,得出CP/PD=AP/BP,代入求出即可.

解题反思: 本题考查了等腰三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,切线的性质,勾股定理,直线与圆的位置关系等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强,有一定的难度.

解决几何综合问题经常需要添加辅助线。添加“辅助线”是我们常用的一种数学解题方法。具体如何添加辅助线教材上并没有统一的方法,在平常学习时候所谓一些方法只是特殊例子集锦,这样记忆不便于数学学习。

其实添加辅助线就是考验我们灵活运用数学知识的能力,这也是中考数学学习的方向。今天我就讲讲在四边形知识内容中如何添加辅助线,四边形(一般包括平行四边形、矩形、正方形、菱形)是初中数学几何主要考查部分,也是每年中考必考的几何考点。

几何综合问题得设置一般会分层设置,立足于常规思路掌握情况的考查。重点考查学生解决问题的方法和几何语言表达的逻辑性、准确性。如先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的函数的解析式和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。

典型例题2:

已知,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,A点坐标为(﹣6,0),B点坐标为(4,0),点D为BC的中点,点E为线段AB上一动点,连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①,将△BDE以DE为轴翻折,点B的对称点为点G,当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求G点的坐标;

(3)如图②,当点E在线段AB上运动时,抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

综上可得抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形,点F的坐标是(﹣1,4)、(﹣1,﹣4)或(﹣1,12).

考点分析:

二次函数综合题.

题干分析:

(1)根据抛物线y=ax2+bx+8经过点A(﹣6,0),B(4,0),应用待定系数法,求出抛物线的解析式即可.

(2)首先作DM⊥抛物线的对称轴于点M,设G点的坐标为(﹣1,n),根据翻折的性质,可得BD=DG;然后分别求出点D、点M的坐标各是多少,以及BC、BD的值各是多少;最后在Rt△GDM中,根据勾股定理,求出n的值,即可求出G点的坐标.

(3)根据题意,分三种情况:①当CD∥EF,且点E在x轴的正半轴时;②当CD∥EF,且点E在x轴的负半轴时;③当CE∥DF时;然后根据平行四边形的性质,求出点F的坐标各是多少即可。

解题反思:

(1)此题主要考查了二次函数综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了数形结合思想的应用,考查了从已知函数图象中获取信息,并能利用获取的信息解答相应的问题的能力.

(2)此题还考查了平行四边形的性质和应用,以及待定系数法求函数解析式的方法,要熟练掌握.

(3)此题还考查了直角三角形的性质和应用,以及勾股定理的应用,要熟练掌握。

在几何综合问题中求函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法和复合法、参数法。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。

几何综合问题千变万化,但最终需要对图形进行分析和研究,希望大家好好努力。

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