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吴国平:今天距高考20天不到,这份数学指南收好

函数与方程看上去是两个不同的概念,但实际上它们之间有着密切的联系,如方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。

如对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。

函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系:

方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点。

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

因此,在解决问题过程中,我们如果能通过函数与方程的互相转化,对解决问题可以起到很大的帮助。

函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。要掌握和理解函数思想,就要学会用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,通过函数的形式,把这种数量关系表示出来并加以研究,从而使问题得到解决。也就是说,函数思想是对函数概念的本质认识,在解题中,要善于利用函数知识或函数观点分析、观察、处理问题。

方程思想,是从问题中的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。

函数是高中数学的重要内容之一,贯穿于整个高中数学内容。方程思想则是动中求静,研究运动中的等量关系。

方程思想与函数思想是密切相关的。如果在所研究的问题中,变量间的数量关系是用解析式的形式表示出来的,则可把解析式看成一个方程,通过解方程的手段或对方程的研究,使问题得到解决。典型例题1:

已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法:

1、直接法:

直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.

2、分离参数法:

先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.

3、数形结合法:

先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.函数思想具体表现为:

运用函数的有关性质,解决函数的某些问题;

以运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数学关系,通过函数的形式把这种关系表示出来并加以研究,从而使问题获得解决;

对于一些从形式上看是非函数的问题,经过适当的数学变换或构造,使这一非函数的问题转化为函数的形式,并运用函数的有关概念和性质来处理这一问题,进而使原数学问题得到顺利地解决。尤其是一些方程和不等式方面的问题,可通过构造函数很好的处理。典型例题2:

在运用函数与方程思想解题时,要注意以下几点:

1、要重视基础知识和基本技能的培养和训练,深刻理解集合、函数、反函数的有关概念。

2、要能熟练讨论函数性质(如单调性、奇偶性、周期性、极值等),掌握函数图象特征的分析(如范围、截距、凹凸性、渐近线、变化趋势等),函数图像的变换(平移变换、对称变换、伸缩变换等),特别是要掌握与研究函数性态有关的数学知识(如向量的平移、函数的导数等)。

3、要能将函数、方程、不等式有机结合起来,互相转化。能用集合的语言加以表述,用参数的工具来体现运动变化,用高等数学的观点来指导问题的解决。

4、要能充分运用数学建模的思想,从数学的角度发现问题、提出问题、进行探索与研究,培养实践能力和创新意识。

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