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吴国平:学会运用数学思想攻克等比数列

原标题:吴国平:学会运用数学思想攻克等比数列

昨天我们讲了等差数列及其前n项和的相关知识内容,那么今天我们就继续讲解数列另一块重要知识内容,也就是等比数列及其前n项的和。

等比数列可以说是数列的核心内容,自然也是高考必考的知识点之一。在高考数学中,跟等比数列相关的主要考点有:等比数列的基本运算与通项公式;等比数列的性质;等比数列的前n项和;等比数列的综合应用等等。

等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”,它们的通项公式和性质有许多相似之处,其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比。

关注等比数列和等差数列之间的异同有助于我们从整体上把握,同时也有利于类比思想的推广。对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算,若能关注通项公式an=f(n)的下标n的大小关系,可简化题目的运算。

今天,我就简单讲讲等比数列及其前n项和相关知识内容。

什么是等比数列?

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为an+1/an=q(n∈N*,q为非零常数).

有等差中项,同样也有等比中项。一般地,如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab.

从这里我们就可以看出,等比数列具有以下两个明显特征:

1、从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零的,公比q也是非零常数。

2、由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0。

我们就可以通过等比数列的概念和特征,得到等比数列的判定方法:

1、定义法:若an+1/an=q(q为非零常数,n∈N*)或an/an-1=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.

2、等比中项法:若数列{an}中,an≠0且an+12=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.

3、通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.

同时我们还需要掌握等比数列两个非常重要的公式:

1、通项公式:an=a1qn-1.

2、前n项和公式:Sn=na1,q=1或Sn=a1(1-qn)/1-q=(a1-anq)/1-q,q≠1.

典型例题1:

运用等比数列的前n项和Sn公式去解决问题,要注意以下两个方面:

1、等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的,注意这种思想方法在数列求和中的运用.

2、在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.

同时我们要谨记一些等比数列{an}的常用性质:

1、在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am·an=ap·aq=ar2.

特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=….

2、在公比为q的等比数列{an}中,数列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列,公比为qk;

数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.

典型例题2:

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.

在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.返回搜狐,查看更多

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