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爱因斯坦场方程的推理过程,和关于场方程新解说明!

原标题:爱因斯坦场方程的推理过程,和关于场方程新解说明!

第四十章:爱因斯坦场方程的推理过程和关于场方程新解的说明

本来原标题想写为《爱因斯坦场方程中没有光》,可后来改变了注意。可能很多人看到这个标题,会觉得奇怪,为什么说“爱因斯坦的场方程中没有光?”其实我要表达的是我们看时间,看宇宙的方式问题,角度问题。

就好比我在问:“假如爱因斯坦是瞎子,他还能建立相对论吗?他还能写出场方程公式吗?”

在我大脑中,似乎没有哪个瞎子可以成为科学家。我百度也没有找到这样一个人。

我受光的启发,写过一首诗歌,这首诗叫《假如我是一道光》。原文如下:

假如我是一道光

——灵遁者

假如我是一道光

我的思想也许就不会等于零

我也就不会像个孩子一样痛哭

我会被你们所有的人嫉妒和羡慕

我仅有的一秒钟就是你们眼中的永恒

我可以穿越很远的梦想

不管那是寒冷还是炎热的时空

假如我是一道光

我的爱情就不会停止和冷却

它会始终自己照亮自己

它会始终在旅行的路上

可是假如我是一道光

我害怕我不知道时间的意义而无聊

我害怕我不知道旅行的方向而孤独

我害怕在你还没有看到之前我早已远去

可是我依然愿意自己是一道光

即使在虚无的空间中骨碎消散

也能从虚无中再次回来

哪怕是亿万年,亿亿万年的等待

我都不会下跪

绝对不会

这就是我想作为光而存在的意义

你只是看到了我

你却永远也捕捉不到我的足迹。

我在想我们看到了世界,是因为世界进入了我们的眼睛。倘若我们只能像瞎子一样,我们看到的世界会是怎么样的?

比如说像蝙蝠一样,视力差,靠超声波来定位,来认识这个世界。爱因斯坦的场方程里本身没有“光”这个概念,只是人类发明了“光”,光是一种电磁波,是我们现在知道了。

光延伸了我们看世界的尺度和客观性,所以“我们”很重要,因为是我们看世界。那么我们的意识就是一个不可避开的谜团。

太多太多的人说时间是不存在的,空间弯曲是不存在的,上帝是存在的等等。。

这是哲学问题,我觉得自己的论述不会比马克思还好。所以我还是坚持物质决定意识。意识反作用于物质。

所以虽然场方程中确实没有光,但我们看见世界的方式不仅仅靠光。我们的认识是客观的,所有说时间,空间这些东西不存在的人,都没有了解到自己本身在宇宙中的存在。当你活着的时候,你与宇宙的一切行为均有同步意义。

为什么不能以人为“尺度”来度量宇宙呢?为什么说不靠谱呢?人本身就是宇宙中的一员,所以说不靠谱的人,其实是在否定自己。

爱氏的场方程中确实没有光,但人类看见了光,爱氏的场方程是可以靠的住的。今天我们就要再去看看,再去想象,爱氏的宇宙方程有哪些值得思考的地方。

· G_uv称为爱因斯坦张量。

· R_uv是从黎曼张量缩并而成的里奇张量,代表曲率项,表示空间弯曲程度。

· R是从里奇张量缩并而成的标量曲率(或里奇数量)

· g_uv是从(3+1)维时空的度量张量;

· T_uv是能量-动量-应力张量,表示了物质分布和运动状况。

· G是引力常数,

· c是真空中光速。

整个方程式的意义是:空间物质的能量-动量(T_uv)分布=空间的弯曲状况(R_uv)

我们知道爱氏广义相对论性的模型建立的核心内容是爱因斯坦场方程的解。在爱因斯坦场方程和一个附加描述物质属性的方程(类似于麦克斯韦方程组和介质的本构方程)同时已知的前提下,爱因斯坦场方程的解包含有一个确定的半黎曼流形,以及一个在这个流形上定义好的物质场。

物质和时空几何一定满足爱因斯坦场方程,因此特别地物质的能量-动量张量的协变散度一定为零。当然,物质本身还需要满足描述其属性的附加方程。因此可以将爱因斯坦场方程的解简单理解为一个由广义相对论制约的宇宙模型,其内部的物质还同时满足附加的物理定律。

爱因斯坦场方程是一个二阶非线性的偏微分方程组,因此想要求得其精确解十分困难。尽管如此,仍有相当数量的精确解被求得,但仅有一些具有物理上的直接应用。

其中最著名的精确解,同时也是从物理角度来看最令人感兴趣的解包括史瓦西解、雷斯勒-诺斯特朗姆解、克尔解,每一个解都对应着特定类型的黑洞模型;以及弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克解和德西特宇宙,每一个解都对应着一个膨胀的宇宙模型。

纯粹理论上比较有趣的精确解还包括哥德尔宇宙(暗示了在弯曲时空中进行时间旅行的可能性)、Taub-NUT解(一种均匀却又各向异性的宇宙模型)、反德西特空间(近年来由于超弦理论中的马尔达西那假说的提出而变得知名)。

寻找爱因斯坦场方程的精确解并非易事,因此在更多场合下爱因斯坦场方程的解是通过计算机采用数值积分的方法,或者对精确解作微扰求得的近似解。

在数值相对论这一分支中,人们使用高性能的计算机来数值模拟时空几何,以用于数值求解两个黑洞碰撞等有趣场合下的爱因斯坦场方程。原则上只要计算机的运算能力足够强大,数值相对论的方法就可以应用到任何系统中,从而有可能对裸奇点等基础问题做出解答。另一种求得近似解的方法是借助于像线性化引力和后牛顿力学近似方法这样的微扰理论,这两种微扰方法都是由爱因斯坦发展的,其中后者为求解时空内分布的物体速度远小于光速时的时空几何提供了系统的方法。

后牛顿力学近似方法是一系列展开项,第一项对应着牛顿引力,而后面的微扰项对应着广义相对论理论对牛顿力学所作的修正。这种近似展开的一种扩展方法是参数化后牛顿形式,应用这种方法可以量化地比较广义相对论和其替代理论的预言结果。

为什么爱氏的场方程的解这么难解,而且解方程的时候往往要以特殊的情况下,才能有解。而且解还只有少部分能直接应用。大多都是数学游戏。在我看来,最重要是“非线性”三个字。

也就是非线性使得场方程下的真实宇宙变的不规则,不流畅,不规整。

非线性是导致数值解爱因斯坦场方程非常困难的根本原因。数值解非线性偏微分方程本身是个大问题。我的理解是非线性系统的解对初始条件十分敏感。著名的例子就是“蝴蝶效应”:当初始条件无法严格确定的时候,系统的长期演化是不可预测的。即便对于那些封闭的非线性系统,当初始条件有偏差时,这个偏差通常也会随时间以指数速度放大,导致初条件失之毫厘而结果谬以千里。

导致数值解爱因斯坦场方程成为极端难题的是非线性系统的共性与广义相对论的个性的结合。爱因斯坦场方程的解目前大多是特殊解,即给定特殊条件解出的解,不具有一般性。这个解的场描述的不是流体的密度、电磁场的强度之类的普通角色,而是时空的几何结构。在广义相对论中,不但物质与能量的发展变化是统一的,物质能量与时空的演化也是一体的。

大家看着场方程,一定会有自己的直观感觉。我的意思不是我不相信数学,是有些时候数学是一种表示宇宙的语言,但并不等于宇宙的实际情况。

就好像,我们说一个人好,单单用“好”字我们并不是很清楚,他到底怎么好了? 而看到的他的人,会说:“他收留流浪狗,他帮助穷人……”这是具体这个人的“好”的具体表现。

宇宙也是一样的,我们单单说“宇宙爆炸”或者“宇宙膨胀”,但我们其实并不是确切知道它为何膨胀。场方程的很多解都是这样说的,但我们还是有很多疑问。

今天我们来看看场方程是如何推理的,当然推理人不是我。但每个人了解了它的推理过程,总是一件好事。【引用钟双全先生的推导过程。本来是想用word形式,可是转换过来后,好多专有符号完全变了,所以为了保持作者原来的推理过程。我采用截图方法,为大家展示。】

由于上面的推理过程,我们知道。爱氏的场方程不仅仅有一种形式。我们目前写出来的方程形式是最简洁的,不是唯一的。就像作者在上面说:“爱因斯坦场方程在一定假设基础合理上猜测出来的 ,以上是引力场方程形式的最小耦合形式版本 ,在此基础上很多人在寻找此形式以外的理论 。比如 ,假设时空有挠率 ,加入宇宙常数等,可以得出更复杂形式的引力场方程 。”

接下来看看已知的爱因斯坦场方程解。

1、先看看什么是史瓦西解:史瓦西度规,又称史瓦西几何、史瓦西解,是卡尔·史瓦西于1915年针对广义相对论的核心方程——爱因斯坦场方程——关于球状物质分布的解。此解所对应的几何,可以是球状星球以外的时空,也可以是静止不旋转、不带电荷之黑洞(称“史瓦西黑洞”)的时空几何。 任何物体被压缩成史瓦西度规将会形成黑洞。

史瓦西度规实际上是真空场方程的解析解,意思上表示其仅在引力来源物体以外的地方能够成立。也就是说对一半径R之球状体,此解仅在r>R时成立。然而,若R少于史瓦西半径r{\displaystyle r_{s}},此时解描述的是一个黑洞。为了要描述引力来源物体内部与外部两者的引力场,史瓦西解必须跟一个适当的内部解在r等于R 处相洽。

注意到M趋于0当 或R趋于无限大R             ,史瓦西度规近似为闵可夫斯基时空。直观上说,这样的结果是合理的:既然远离了引力来源物体,时空理应变得近乎平直。具有这样性质的度规称作是“渐进平直。

2、什么叫雷斯勒-诺德斯特洛姆度规雷斯勒-诺德斯特洛姆度规是广义相对论中描述描述静态球对称带电物体的引力场的度规,是广义相对论的一个著名的精确解,是雷斯勒(H.Reissner)以及诺斯特朗姆首先提出的。具有这样的度规形式的黑洞称为雷斯勒-诺德斯特洛姆黑洞

3、什么叫克尔解:广义相对论中,克尔度规或称克尔真空,描述的一旋转、球对称之质量庞大物体(例如:黑洞)周遭真空区域的时空几何。其为广义相对论的精确解。

克尔度规是史瓦西度规(1915年)的推广,后者用以描述静态不旋转、球对称且不带电荷的庞大物体周遭真空区域的时空几何。在有带电荷的情形,史瓦西度规转成雷斯勒-诺德斯特洛姆度规(1916年–1918年)。约瑟夫·冷泽和汉斯·提尔苓曾使用弱场近似方法得到过旋转轴对称球状物体度规的近似解。直到1963年方由罗伊·克尔提出精确解。但他并没有给出推导过程。1973年Schiffer等人给出了克尔度规的推导。

克尔度规的带电荷版本为克尔-纽曼度规(1965年),以上四个相关的解可整理为如下表格:

不旋转 (J = 0)旋转 (J ≠ 0)不带电荷 (Q = 0)史瓦西度规 克尔度规带电荷 (Q ≠ 0)雷斯勒-诺德斯特洛姆度规克尔-纽曼度规

4、什么叫弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规:罗伯逊-沃尔克度规是H.P.罗伯逊和沃尔克分别于1935年和1936年证明的。

按照宇宙学原理,在宇宙学尺度上天体系统最终要的特征之一是均匀性和各向同性。H.P.罗伯逊和沃尔克分别于1935年和1936年证明,适用于上述均匀性和各向同性要求的四维时空只有3种

式中R(t)为宇宙标度因子,r,theta,phi是球坐标变量,t为宇宙时,k为空间曲率。

k=1时,三维空间是球状的,总体积是有限的,其值为2R(t)。

k=-1时,三维空间是双曲空间,总体积是无限的。

k=0时,三维空间是平直的,总体积也是无限的。

由于宇宙膨胀的速率是时间函数,会随宇宙的几何特性而有不同,所以宇宙的形状将会决定宇宙的终极命运。但值得留意的是,FRW度规是并不考虑暗能量的。

5、什么叫德西特宇宙:1917年,荷兰天文学家德西特继爱因斯坦之后提出的一个宇宙模型。它与爱因斯坦静态宇宙模型一样,认为宇宙的空间不随时间而变,故属静态型。但是,它又认为宇宙的物质有运动,不过物质的平均密度趋近于零。在这些条件下,求解爱因斯坦引力场方程,得德西特静态时空度规。

6、什么叫哥德尔宇宙:哥德尔的宇宙表明,宇宙的旋转以一种极端的方式扭曲了空间,以至于把时间都闭合了。哥德尔证明,这样的宇宙满足爱因斯坦场方程,但不满足牛顿引力。

哥德尔的宇宙是一个不断旋转的宇宙。这种宇宙不膨胀,所有的物质都绕着一个对称轴匀速转动。其中也包含了爱因斯坦的宇宙学常数,但不同的是,这里的宇宙学常数小于零,因此产生的是引力,和物质的引力一起抵消了转动产生的离心力。这本身就够有趣的了,但哥德尔的宇宙还有一个完全令人无法想象的性质:它允许时间旅行。哥德尔证明,时空中的一些路径形成了闭合的回路。大多数人,包括爱因斯坦,都相信这种事情应该违背了其他的物理定律,并且会导致科幻电影里经常演到的逻辑悖论(例如,杀死婴儿时期的自己)。

7、什么叫托布-NUT度规托布-NUT度规是一个爱因斯坦场方程的精确解,为广义相对论的框架下所建构出的宇宙模型。

托布-NUT度规是由亚伯拉罕·哈斯克尔·托布(Abraham Haskel Taub)发现,并由以斯拉·纽曼(Ezra T. Newman)、T. 昂蒂(T. Unti)和 L. 坦布里诺(L.Tamburino)拓展到更大的流形,其首字母缩写组成了“托布-NUT”当中的“NUT”。托布的解是爱因斯坦方程在空的空间中的一个解,表达了一种一种均匀却又各向异性的宇宙模型。

8、什么叫反反德西特空间数学与物理学中,一个n维反德西特空间,标作AdSn为一最大对称的洛伦兹流形,具有负常数的数量曲率。其为双曲空间的洛伦兹类比,一如闵可夫斯基空间与德西特空间分别为欧几里得空间与椭圆空间的类比。

反德西特空间最知名的应用是在AdS/CFT对偶。“德西特”是以威廉·德西特(1872–1934)为名,他与阿尔伯特·爱因斯坦于1920年代一同研究宇宙中的时空结构。

以广义相对论的语言来说,反德西特空间为爱因斯坦场方程的最大对称真空解,其带有负的(吸引性)的宇宙常数,对应到负的真空能量密度与正压力。

数学中,反德西特空间有时更广义地定义为一个具有任意度规标记(p, q)的空间。物理学的情形中,一维类时维度才有意义。由于标记习惯的不同,可写作(n−1, 1)或(1, n−1)。

上面所有的,包括爱氏场方程推导和目前场方程著名的解,都是为我下面的推论做铺垫,也是为大家学习提供资料。

总结一下你会发现,所有的解都是特殊的,这种特殊表现在“对称”,“真空”,“黑洞”,“趋于无限大,或无限小”。有的是在解的基础上再解,比如史瓦西解发展为克尔解。有的解是解的反面。

这时候你会说什么? 一个词叫:“乱象丛生。”正好描述这样的情况。

大的方向不对,大玩数学游戏,会使得我们越来越迷茫。去看看弦理论和无数种黑洞性质的推想,就知道这样的情况有多严重。

我该庆幸我不懂高等数学,还是我该为自己不懂高等数学而羞耻。也许这不是我自己可以评价的。就像我上面说的,不是我不相信数学,是我不相信理解宇宙的纯粹的数学人。

我的爱氏场方程的认识观点如下:

1、爱氏场方程是一个非线性的偏微分方程,是在严格的设想和推论基础上建立的,虽然有各种形式的场方程,但这类场方程都是靠的住的,这是我一贯的坚持。宇宙就是一个非线性波动的系统。

2、宇宙既然是非线性的,那么真实的宇宙情况就不会是静态的,对称的。当然我并不反对从“简单”入手,也就是从对称的,静态的假想宇宙着手。这也是意味着,现在关于爱氏场方程的精确解,都是不真实的,理想化情景严重。

3、上图的整体公式,有表达空间物质的能量-动量(T_uv)分布=空间的弯曲状况(R_uv)。但这种数学符号的等于并不是真的等于,我们更应该把它理解为现实宇宙的指向。即(T_uv)分布指向R_uv时空曲率,所以可以将此理解为能量物质时空弯曲。时空弯曲又告诉物质能量如何运动。这个理解是正确的。

4、整个场方程和场方程的推理过程,我们已经看到了。场方程所包含的项其实是非常多的。爱因斯坦场方程是一组含有若干4阶对称张量的张量方程。每一个张量都有10个独立的分量。由于4个比安基恒等式,我们可以将10个爱因斯坦场方程减少至6个独立的方程组。这导致了度规张量gμν有4个自由度,与坐标选取的4个自由度是对应的。

从推理过程,将场方程看成是四维时空,是靠的住的。网上有人说没有在场方程中直接看到质量M和时间T。怎么可能呢?去看看上面的推理过程,不可能没有这两个内涵在里面。而且质量和时间属于基本量。很在很多物理公式都是必不可少的。可以去看看上一章基本量和导出量的关系,也就是量纲。

我在《时间的本质说明》中强调时间是客观的,但时间没有箭头。我也没有在场方程中看到这样的信号。而且时间会随着(T_uv)(R_uv)变化而变化。也就是时间和物质,空间一体化。这在《物质,时间,空间一体化说明》中有论述。

5、不会有绝对平直空间,欧氏几何确实是数学几何。现实的平直的闵可夫斯基空间也不存在。宇宙空间的复杂的取决于能量物质的分布。静态的,平直的,封闭的,特殊的都应该被“普通”化,才能符合宇宙的真实情况。

空间的高维度性,值得怀疑,是个数学游戏。宇宙空间可以引入拓扑宇宙空间。当然这种拓扑性应该突破封闭,应该像闵可夫斯基空间拓展。只有这样才能将时间纳入进来。

而且要借助微分的手段来分析哲学拓扑的“时空”,这样局部引力场处理起来,会简单的多。

6、从时空能量物质的分布,指向时空弯曲,不代表时空弯曲产生引力。而是说时空产生引力,即引力是一种时空性质。物质能量通过引力作用使得时空弯曲。所以时空是引力的源泉!

在推导场方程过程中,用到了动量守恒和等效原理,这里面包含了惯性质量和引力质量。我的推理是引力是惯性的源泉。这个在前面有过具体的论述了。这里就不再铺开讲了。 这就是我给你的一个场方程的解。

你可能会问,数学推理呢?我得诚实的回答,我还没有能力给出数学的推论。

7、我对场方程做了一些最简单的加减乘除的变法,来理解一下场方程。如下图。比如说单独把引力常数,光速列在一边,来观测场方程。

上面图中的变形是最简单的变形,只遵循最简单的加减乘除,来单个看每一项等于什么? 下面的论述很大程度上的理解属于猜想,但还是基于场方程的。

图中的1,我们可以看出引力常数是时空弯曲R_uv与能量动量T_uv比值等于G。引力常数一直也是个谜,我们知道它的具体数值,而且测量也很精确了。可以怎么就是这个数字,我们还是不太解。

我这样的做法,很粗俗。但大胆的推测,由于引力常数是个定值,就说明一种“变化中的不变性”即守恒。大家不要小看这样的变形,很震惊的。

这揭示了R_uvT_uv在宇宙中,不能说谁是自变量,谁是因变量。它们是互为变量,互相影响的。这就是非常好解释引力常数,为何是一个定值了。

无论在那个场,它们的行为总是同步化。比如说能量物质密集的地方时空弯曲程度大,相反则小。小学生都可以理解,4除以4等于1,2处于2也等于1. 就是这个道理!

这里的1就是它们的比值,是定值。如此广的范围引力常数定值不变,寓意着这是时空性质。而这个常数又叫引力常数,是我们用来测量引力的。所以更印证了我的理论:引力是一种时空性质。不是时空弯曲产生的。

图中2,是能量动量分布和运动T_uvR_uv曲率的比值,等于光的四次方。除法也是乘法,所以可以理解为T_uvR_uv是一种束缚,光的束缚。所以这就是我为什么说光是一种束缚态。就是说物体要达到光速,要克服的是T_uvR_uv,即时空能量和时空弯曲,显然是不可能的。

但从场方程中无法解读出光的粒子行为,扰动是可以的。这种扰动就是T_uvR_uv的相互作用,可以理解为波动扰动。但粒子性行为无法预测。

或者正是这样的扰动,无法预测,才会有衍射,表现出波粒二象性。

图中3,是T_uv和g_uv等于R_uv。其实就是T_uvR_uv指向关系。上面说过,即引力的本源是时空。

图中4,这个变换没有可理解的联系。R_uv时空弯曲减去T_uv能量动量,是没有意义可以联系的。所以得出g_uv只能理解为运算的游戏。

图中5,时空弯曲项R_uv与光速C等于T_uv能量动量分布和运动。这个是有联系意义的。就是时空告诉物质如何运动。

最后强调一点,黑洞的特殊情况在场方程中可以出现。但不要用数学去缠住数学,数字上的0,和宇宙中无是两个概念。所以奇点问题的研究,要巧妙。

这就是我对于爱氏场方程的介绍,和自己的一些推论。

我相信一千个人看爱氏场方程,就有一千个解。我不认为自己的解是疯狂的解。毕竟前人连最特殊的解都敢想象,甚至这样的解不能想象。我对场方程的解的描述,就更不算一种傻的行为。

2017年4月29日夜。

摘自独立学者,诗人,作家,国学起名师灵遁者物理宇宙科普书籍《变化》第四十章。返回搜狐,查看更多

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