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ABC猜想真的被证明了?或者,这只是“一场彻底的灾难”?

原标题:ABC猜想真的被证明了?或者,这只是“一场彻底的灾难”?

望月新一的abc猜想证明可能即将发表,这一消息让数学界对这个极为难懂证明的讨论重新热烈了起来,其中也不乏悲观的反对者。芝加哥大学代数数论教授 Frank Calegari就在自己的博客上撰文认为,按照这一论文此刻的状态,尚不能称为证明,就算发表也于事无补;著名华裔数学家 陶哲轩也在评论里表达了他的疑虑。

Frank Calegari/文

Math001 浪荡游侠/译

Ent/编辑

五年前,Cathy O’Neil 给出了一个十分令人信服的论证,解释了为何(当时还是刚发表的)望月新一的声称(尚且)不应该被视作是ABC猜想的证明。关于那篇帖子中讨论的数学的社会侧面,我这里不再做任何补充了。这里我只想向大家报告一下,现在,它在专业的数论学家眼里,是个什么情况。

答案是,这简直是一场彻底的灾难

abc猜想的阐述(局部)。

这篇文章并不是试图对望月新一论点的真伪做出任何认识论意义上的断言。举个极端的例子,如果望月新一把这个证明用古希腊线形文字A刻在石板上,然后丢到马里亚纳海沟里,那么毫无疑问,追问那证明是否准确就是件毫不重要的事情。虽然说法极端,但现实情况和刚刚我的这个描述没太大差别。

每一次我(私下里)听到某个专家分析望月新一的论文,结果都是让人不安的相似:海量的平凡的事实,加上山一般高的未经验证的结论。对望月新一的辩护通常基于如下观点:格罗滕迪克学派的数学产出也是遵循着相似的模式,而事实证明,这些产出已经成为现代数学的基石。有这样一个典故:

笔者听过这样的故事。有一天,格罗滕迪克说,弄开核桃壳有两个办法。一个办法是,把核桃壳用坚果钳子使劲一口气夹烂。另外一个办法是,把它浸入有很多很多水的水缸里,泡啊,泡啊,使劲的泡啊,然后它自己就泡开了。格罗滕迪克的数学属于后者。

虽说这比喻可以说很精准,但拿望月新一和格罗滕迪克做类比并不好。是的,格罗滕迪克在20世纪60年代以革命性的方式“自下而上”的重构了数学。但是,从法国高等研究所(IHES)生产的思想迅速传遍了世界,抵达了巴黎大学、普林斯顿大学、莫斯科大学、哈佛大学、麻省理工学院、波恩大学,以及荷兰的一些大学等地的讨论班。本质上,格罗滕迪克学派20世纪60年代的成功并不是用IHES产出的定理来衡量的,而是它产生的思想完全改变了这个学科(以及相关学科)里的每一个人思考代数几何的方式。

亚历山大·格罗滕迪克,德裔法国数学家。图片来源:subhankar-biswas/DA

这不是对某人个人癖好的吐槽,也不是抱怨某些人不按“体制”的规则出牌。佩雷尔曼更加直接地拒绝学术界的传统,干脆就只是把他的论文贴在arXiV上,然后一走了之(补充:虽然佩雷尔曼从来没有正式提交论文,但他确实举办了漫长的巡回讲座,让他得以接受其他专家的咨询)。但最终的结果是,在数学里,思想是永远的胜利者。人们可以读到佩雷尔曼的论文,能在文章中感知到他所有的思想(五年内,大量专家补充了原始证明里略过的完整细节,并陆续发表)。通常情况是,如果数学领域里有突破性发现,当其他数学家能利用这个新的思想证明其他领域的定理的时候,这个标志性的事件会引起学术成果爆炸式的增长。而且,这些新成果的方向多半出于理论原本发现者的意料之外。

但这样的事情,很明显并没有在ABC猜想的证明上发生。这个事实本身,就是人们心存疑虑的最有说服力的原因之一。

格里高利·佩雷尔曼,俄罗斯数学家。图片来源:wikipedia

现在这些论文似乎要被PRIMS接收了(这是望月新一自己当主编的杂志,这事本身不是什么大问题,但依然有碍观瞻)。论文被接受这一事实,对于说服人们接受这一证明而言并没有什么作用。如果说审稿程序有什么意义的话,那么它的意义不仅仅是使人对文章的正确性产生合理的信心(不是绝对的确信,发表的文章也会有错误,但这些错误多数是小错,要么是有学识的读者自己就能立刻纠正,要么是一个勘误声明就能解决,很稀少的情况下才需要撤稿)。同样重要的意义是,它迫使作者把自己的文字清晰程度提升到合理的标准,足以让其他专业人士阅读(这样的好处之一是,读者就不需要花审稿人那么多的时间来读这篇文章)。

而这一点在这篇论文上完全失败了,这不得不令人质疑审稿工作的质量如何,还有PRIMS编辑委员会如何能允许论文以这样不可接受的、被广泛认为不透明方式发表。那么,我们会进入一个荒唐可笑的情形——ABC这个命题在京都是定理,但在其他地方都是猜想。(补充:一位日本读者向我指出,报纸并没有确定地说论文已经被接收,用的是“按计划论文会被PRIMS接收”诸如此类的措辞。这也不会改变本文的实质内容,只不过还存在论文不会以现有方式被接收的可能性,如果那样的话,我收回对PRIMS编辑委员会的批评。)

那么为什么这样的情况持续了那么长的时间?我想我能提出三点基本理由。

  • 第一,数学家通常是非常小心翼翼的(就像那个笑话说的——苏格兰的绵羊至少有一面看上去是黑色的)。因为数学家们不能指出望月新一证明的实质性错误,所以他们非常不愿意去声明这个证明有问题。于是,他们倾向于在提出负面观点的时候高度谨慎(这确实很合理)。我们成长为数学家的历程中,如果听不懂别人的证明过程,通常会觉得这是我们自己的问题。

  • 第二,无论何时,数学家一旦做出一个特别的声明,大家开始的反应都会去看这位数学家之前的工作。这个例子里,望月新一曾经在重要领域做出过成果,而且被很多认识他的人认为是一位很聪明的数学家。的确,一些默默无闻的人(比如最近的张益唐就是一个例子)声明自己证明了某个重要的结果,他的文章也会被认真对待,但是,如果类似不知名的人以望月新一的方式放出一个1000页的论文,他立马会被忽视。

  • 最后一个理由和前两条形成对比:有一些人很愿意站出来说一切都没问题,说那些怀疑的人只是没有做足功课去理解宇宙际几何的基础。我没兴趣去揣测这些人为什么这样做。但是,说一个理论至少需要几百小时的钻研才能入门,这种观点要么是彻底扯淡,要么是和日常的学术经验差出十万八千里,以至于不但在数学里,在全部科学里都是前无古人的。

那么,事情会怎么发展?这里有很多种可能。一种可能是某位专家深度检查了论文,并能抽出论文的核心思想,然后对论文进行重大的简化,让它更容易读懂,从而改变整个话题。这是论文刚公开时的理想剧情,但一天一天地(一年一年地),这个可能性变得越来越小。但可能性仍然存在。与之相对的可能是,某位专家找到了一个严重的错误,用相反的方式来了结这个事情。第三种可能是,这个状态一直持续下去:没有“恩赐解脱”来杀死这个路线,但学界共识还是大家无法理解论文的关键思想。(应该说的是,论文是否被某个杂志接收和此基本上毫无关系;光是有人作证说“我读了这个论文,它没毛病”是不够的,还必须有人来能把它解释给别人听。)这种情况下,数学界只会继续前行,直到很久以后——一年、十年、甚至一百年之后——终于有个人真的证明了ABC猜想,那时候我们才终于能回头去看,证明所用的想法是不是一直在这些论文里。

图片来自:New Scientist

陶哲轩 在本文评论区的回复:

感谢博主的文章。我没有足够的专业知识去对望月新一的论文做一手的评价,但是对于你文章中提到张益唐及佩雷尔曼的工作却更加熟悉。在我看来一个显著的区别在于, 张益唐与佩雷尔曼的工作里有着一些较短的“概念证明”陈述,即用论文里方法能很快得到现有领域里一些有价值的新的不平凡结论(或是发展出一些已有的不平凡结论的新证明)

在佩雷尔曼的工作中,第一篇论文的第五页就已经给出了Ricci流的一个全新解释:它将Ricci流看成了梯度流,而这是一个看起来非常有前途的方法。在第七页,他就用该解释建立了一个关于Ricci流的“非拟周期性”定理,这个定理虽然要最后证明庞加莱猜想还远远不够,但它本身就是一个新奇且有趣的结果。这也是为什么这个领域的专家迅速认定这篇文章中有很多“好东西”的原因之一。

张益唐54页的论文中,花了更多时间阐述那些对专家而言是标准性的内容(特别地,这篇文章沿袭了解析数论界的传统,将所有后面要用到的引理一起作为一段漫长但直接的引子,都放在了文章的开头)。但是在所有引理都列完之后,张益唐仅仅用了6页,就做出了一个不平凡的观察:只要能改进Bombieri-Vinogradov定理对光滑模的估计,我们就能证明素数间距离有限。(其实这个观点此前也被Motohashi和Pintz独立地导出,但他们所导出的形式却无法被得心应手地运用在张益唐后面30多页的证明中。)这并不是张益唐论文中最深奥的部分,但是它却将原问题化为了一个看起来更容易处理的问题。相比之下,无数试图攻克诸如黎曼猜想这种大问题的论文里,作者都只是不停地在把问题转化得越来越难,越来越难,直到一个奇迹发生(也就是作者犯了错),突然间把问题变得简单了。

根据我读到和听到的信息,我的理解是,此刻在望月新一的论文里,最短的能在现有领域(非宇宙际Teichmüller理论)里获得一个非平凡结果的“概念证明”,就已经是证明abc猜想所需的300多页证明了。在我看来,如果有一个更短的概念证明(比如少于100页),那会很有助于消除人们对他的论证的怀疑。如果说有一整个自洽的理论体系,唯一的外部应用就是凭300多页的准备来证明abc猜想,而这些准备工作里却没有任何小片段能产生非平凡的外部结果,那在我看来这是件极为怪异的事情。

(编辑:Ent)

编译来源:The ABC conjecture has (still) not been proved. galoisrepresentations.wordpress.com

扩展阅读:数学界超大突破或将正式发表,但全世界只有12个人看得懂……

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