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危险的“黎曼猜想”

原标题:危险的“黎曼猜想”

Sept.

23

灼见(微信号:penetratingview)

都在等待“黎曼猜想”证明,却不知道它后面隐藏的危险。

作者 | 17进制

都在等待“黎曼猜想”证明

却不知道它后面隐藏的危险

——节选自《人类最美的54个公式》

01

大神黎曼

过直线外一点,可作其几条平行线?

欧氏几何说,只能作一条;

罗氏几何说,至少可以作两条(包括一组和无数)。

黎曼慢悠悠地反问:谁知道平行线相交还是不相交呢?

“平行线公理”的世纪之争,最终终结于黎曼。

黎曼提出:过直线外一点,一条平行线也作不出来。(这是人话吗?)

可基于黎曼几何得出的“无平行线”结论,最终成了广义相对论的数学帮手。

广义相对论最初源于爱因斯坦意识到引力并不是一种力,而是时空几何弯曲的体现。

物理直觉超于常人的爱因斯坦一直找不到数学工具来表达他的想法,如果没有数学支撑,直接说引力是时空弯曲效应,肯定会被吐槽成“物理是体育老师教的”。

所以,直到他从数学界朋友了解到黎曼的“非欧几何”,才让广义相对论提早问世。当爱因斯坦得意地跟全世界说:如果没有我,50年内也不会出现广义相对论。

这时候,能和爱因斯坦站在一起吹牛的,也只有数学大神黎曼了。

02

黎曼猜想与裸奔的互联网

“几何”一直是黎曼的主业,这又是一座深不可测的数学殿堂。

但今天聊的不是他的主业,而是他在1859年“闲暇之余”随手丢下的一个猜想。

这个猜想说的是:存在一个对素数分布规律有着决定性影响的黎曼ζ函数非平凡零点

讲人话,我们来看黎曼猜想到底长什么样纸!

黎曼猜想指的是,黎曼函数所有非平凡零点的实部都是1/2。

更通俗的数学表达式如下:

ζ(s)= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……=0的所有非平凡解都在直线x=1/2上。

怎么样!看懂了吧,如果还有疑问……那我也没辄了,我的智商有限。

黎曼自己肯定没有想到,他所提出的这个猜想,足足折腾了数学家们159年。

如果黎曼知道直到2018年我们还在纠结,一定会花点时间把证明写出来的。

这件事情还得怪他的老师高斯,高斯的座右铭是“宁肯少些,但要成熟”的低调作风,这一点影响到黎曼,让他成为一个惜字如金的大神。

他一生仅发表过10篇论文,但每篇论文都横跨各领域,是多领域的先锋开拓者,虽然不到40岁就去世,但仍然显示出不可一世的才华。

1859年黎曼抛出的这个不朽谜题,就是想解决素数之秘。

一旦素数之秘被解开,那么现在几乎所有互联网的加密方式将不再安全,互联网变成一个裸奔的世界,因为我们主要的非对称加密包括RSA密钥加密等等,都是基于大数的分解。

不仅仅是互联网,只要证明方法被公布,无需量子计算机,根据其原理甚至能破解现代银行的安全密码体系,看你还开心不开心!

03

非对称加密算法和素数的关系

那些担心自己的钱包和黎曼猜想的朋友们,我们再复习一下小学数学:

小于20的素数有多少个?答案是有8个:2、3、5、7、11、13、17和19。小于1000的素数有多少个?小于100万呢?小于10亿的呢?

观察素数表,你会发现素数数目是下降的,它们越来越稀疏。1和100之间有25个素数,401和500之间有17个,而901和1000之间只有14个。如果把素数列到100万,最后一个百数段(就是从999901到1000000)中只有8个素数。如果列到10 000亿,最后一个百数段中将只有4个素数。它们是,999 999 999 937,999 999 999 959 ,999 999 999 961,999 999 999 989。

越到后面,素数的寻找越发艰难。

因此,聪明的数学家们将素数应用在密码学上,因为人类还没有发现素数的规律,以它作密钥进行加密的话,破解者必须要进行大量运算,即使用最快的电子计算机,也会因求素数的过程时间太长而失去了破解的意义。

现在普遍使用于各大银行的是RSA公钥加密算法,基于一个十分简单的素数事实:将两个大质数相乘十分容易,但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难,因此可以将乘积公开作为加密密钥。

黎曼猜想得到完全证明,很有可能派生出攻击RSA公钥加密算法的规律。

一旦黎曼猜想得证,那么基于大素数分解的非对称加密算法可能就走到了尽头,私钥加密、签名也就失去了意义。

当我们在为数学家开心的时候,也得小心那些寻找漏洞的黑客。

04

黎曼ζ函数证明和量子幽灵有关吗?

黎曼猜想的证明有那么难吗?

在这里我不列出这些证明细节,只看看一路坎坷的证明历程:

❶1896年,法国的哈达玛抵达猜想的三八临界线边缘——证明了黎曼ζ函数的非平凡零点只分布在带状区域的内部,并顺手干掉了刁难人类一百年的素数定理。

❷1914年,丹麦的玻尔与德国的兰道触到了冰山一角,窥得了黎曼ζ函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”在临界线的周围。

❸英国的哈代副武装模式开启,直接将“红旗”插上了临界线——证明了黎曼ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。

❹1989年美国的康瑞又推翻了列文森的推论,重新开启了估算的新篇章,又证明了至少有40%的零点位于临界线上。

……

然而谁也没能真正搞定黎曼猜想,数学上“无穷大”这只恶魔让再多数值证据都微不足道。

没想到,有幸之年,我竟能亲身见证黎曼猜想被证明,若为真,实深感荣焉。

就在最近,2018年9月20日,菲尔兹和阿贝尔奖双料得主迈克尔·阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想,要在9月24日海德堡获奖者论坛上向全世界公布证明。

一听这消息,躲在深山老林的科学家们全炸了。

黎曼猜想这次真的会被解决吗?作为数学奖最高得主,阿蒂亚爵士的确是这个时代顶尖数学家之一。但他都89岁了,会不会只是出来玩票……

此次阿蒂亚的证明恐与量子力学有着千丝万缕的关系。

自20世纪以来,已有部分科学家注意到素数与量子物理之间存在联系。

黎曼猜想中的素数行为,酷似量子力学中的“测不准原理”,虽然你可能不知道单个分子确切位置,但是你可以确定这个房间大致的分子分布,素数这难以捉摸的行为特别像量子幽灵掌握的微观世界。

阿蒂亚若是借助量子力学这一工具来证伪黎曼猜想也不是不可能。毕竟,数学中很多重大问题,都是建立在与其他数学分支跨界联系的基础上才被解决,比如费马大定理。

而由量子理论所衍生而出的量子计算机,也早已被数学家证明能快速对大数进行质因数分解,基于“平行世界”的运算可轻而易举破解素数并颠覆密码系统。

量子力学与素数的恋情,也许将在这一次揭开情人面纱。

05

猜想将动摇数学大厦吗?

各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖,不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发。

一旦证明方法得证无误,密码夹持着的无尽秘密有多少会不复存在。

然而,黎曼猜想带来的危险不仅仅影响银行,更不仅仅影响互联网,其可能动摇到一些数学根基。

数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想的成立为前提。如果黎曼猜想被证明,所有那些数学命题就全都可以荣升为定理;反之,如果黎曼猜想被否证,则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬品。

那些建立在黎曼猜想上的推论,可谓是一座根基不稳、摇摇欲坠、令人惶恐不安的大厦。

一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联,这是世上极为罕有的,也许正是因为这样的关系,黎曼猜想的名气和光环变得更加显著,也越发让人着迷。

因而,此次黎曼猜想是否成功证明,将牵一发而动全身,直接影响以黎曼猜想作为前提的数学体系。

06

危险的数学和逝去的“爱神”

伯恩哈德·黎曼于1866年7月20日去世,离开这个世界时还不到40岁。

天妒英才,这位与欧拉、高斯、伽罗瓦一样在数学上具有顶尖天赋的人物,可能因为其才华给神带来巨大危险,很快就被上帝唤回去打麻将了。

他并没有意识到自己对这个世界的影响会如此深远,临走之前非常安宁,没有挣扎也没有临终痉挛,仿佛饶有兴趣地观看灵魂与肉体的分离。

《素数之恋》一书谈到:他妻子给他拿来面包和酒,他要她把他的问候带给家里人,并对她说:“亲亲我们的孩子”。她为他诵读了主祷文,他的眼睛虔诚地向上仰望,几次喘息以后,他纯洁而高尚的心脏停止了跳动。

他长眠在塞拉斯加教区比甘佐罗教堂的院子里,墓碑上的碑文是:

这里安息着

格奥尔格·弗里德里克·伯恩哈德·黎曼

哥廷根大学教授

生于1826年9月17日,布雷斯伦茨

卒于1866年7月20日,塞拉斯加

万事都互相效力

叫爱神的人得益处

注释:

①ζ函数:(ζ-function)用来刻画系统周期点性态的函数。

②零点:设是定义在数域k上的函数,我们把方程f=0在数域k中的解称作f(在k中)的零点,所有零点构成的集合称作零点集。

—THE END—

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