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闵氏几何专题(4):如何用几何语言解决尺缩效应和钟慢效应?

原标题:闵氏几何专题(4):如何用几何语言解决尺缩效应和钟慢效应?

上一篇:闵氏几何专题(3):时空图怎么画?怎么用几何语言解决同时的相对性?

尺缩效应是狭义相对论里比较有趣的一个效应,它简单说来就是一句话:运动的物体长度会收缩,也就是动尺收缩。但是这样描述会让许多初学者心生疑惑,你动尺收缩是真的收缩了还是只是看起来收缩了?这是一种观测效应还是一种由于光速有限造成的传播误差?你相对尺子没动,觉得尺子没缩,我觉得缩了,那么它到底缩了没有(这是个很常见的错误的问题)?

其实,用非几何语言初学相对论的人不可避免地会遇到很多类似这样的问题。因为大家在牛顿的那一套环境里浸润久了,想一下子把思维切换过来很麻烦。而且学相对论的人最容易载到“相对”两个字里来,该相对的东西不相对,不该相对的东西又跑去相对,最后把自己绕进去了。但是用几何语言却没有这样的烦恼,因为有很多物理量在3维的时候是相对的,在4维里就都是绝对的了。而且,几何图形清晰直白,会大大降低这类问题的难度和迷惑性。

好,现在我们来看看怎么用几何语言处理尺缩效应。

一个粒子的世界线是一条线,而一把尺子是由许多粒子组成的,所以一把尺子在时空图里留下的轨迹就应该是一个面,我们称之为尺子的世界面。我们还是以地面系为基准系,假设尺子相对地面系静止,那么尺子每个粒子的世界线都是一条平行于t轴的线,合起来它的世界面应该是一个有一定宽度的面。上一节我们已经学会了如何把运动的惯性系也画出来,我们再把相对尺子运动的参考系x’-t’(假设为火车系)画出来,总的时空图就是这样:

如上图所示,阴影部分就是在地面系静止的尺子的世界面,它跟x轴的交点为a,跟x’轴的交点为b。那么我们很容易就能知道oa就是尺子在静止地面系的长度,ob就是尺子在运动的火车系x’-t’的长度

为什么呢?你想想oa代表什么意思?oa就是当地面系的时间为零的时候尺子在空间x轴的投影,那这显然就是尺子的长度了。那么,同样的道理,因为运动的火车系的坐标是x’-t’,ob也是当t’都为0的时候尺子在x’轴的投影,所以ob就是运动的火车系测得的尺子长度。

所以,尺缩效应就变成了比较oa和ob的长度。很显然,oa和ob的长度肯定不一样,那么到底是oa长还是ob长呢

没错,你的眼睛没有看错,我就是在问到底是oa长还是ob长?可能这个时候你的脑袋是懵的,明明oab组成了一个直角三角形,ob是斜边,斜边肯定比直角边更长啊,这是初中生都知道的,ob比oa长难道还有什么疑问么?

没错,搁在欧式几何里,斜边大于直角边这绝对毫无疑问。但是,我们始终要记住我们处理狭义相对论问题用的是闵氏几何(否则也不会出现x’-t’这样看起来不正交的坐标系),那闵氏几何里要怎么样比较两条线段的长短呢?

这个时候你可能意识到了:我们在闵氏几何里连怎么定义线段的长度都不知道,更别提比较两条线段的长短了。那么,闵氏几何里一条线段的长度是怎么定义,怎么计算的呢?

在讨论怎么定义,计算闵氏几何一条线段的线长之前,许多人可能对为什么这个问题会是一个问题都心存疑惑:线段的长度不就是用尺子去量一下线段么,为什么还需要什么定义?即便我不用尺子去量,一条线段我在直角坐标系里把它投影到x和y轴,假设它在x轴和y轴的投影长度分别是Δx和Δy,那么我就可以利用勾股定理很简单的算出这条线段的长度L²=Δx²+Δy²。

但是,我还是得再强调一次:你能这样做,是因为你已经假设了你是在欧式几何里。只有在欧式几何里,一条线段的长度才可以这样用勾股定理去计算,但是狭义相对论的几何背景是闵氏几何。为了让大家能更直观的了解,我们先不谈闵氏几何,我们就来看看球面几何

球面几何顾名思义就是在在一个球面上的几何。你可以想象在一个篮球的表面,或者地球的表面上有两个点,那么,这两个点之间的距离应该是一段圆弧长,而不再是欧式几何里的直线。你想想,在这种情况下,你还能用勾股定理去计算这两点之间的距离么?你要硬用勾股定理去计算,那么算出来的是这两点之间的直线距离,并非在球面上的圆弧长,这显然是不对的。就好比你在地球表面计算北京到深圳的距离,你用勾股定理算出来的距离是在北京地底下打一个直线隧道通到深圳的距离,这显然不是你在地球表面从北京直线开车去深圳的距离。

从这里我们能直观地感觉到:在不同的几何里,长度的计算方式是不一样,每一种几何都有自己度量长度的规则(这就是度规),一旦这种规则确定了,这种几何也就确定了。其实,这一点我在「线元决定几何」这一节里已经说得非常明确了,不光是线长,所有的几何性质都是由线元决定的,不同的几何拥有不同的线元,自然就拥有不同的计算线长的方式。

二维欧式几何的线元是dl²=dx²+dy²,二维闵氏几何的线元是ds²=-dt²+dx²。二维欧式几何里线段长度的计算公式是这样的:

那么,二维闵氏几何里线段长度的计算公式自然就是这样的:

因为闵氏几何的线元的时间项前面有个负号,所以,为了避免根号里面的值出现负数从而让式子无意义,我们套了一个绝对值(它保证所有值都是非负的,比如-5的绝对值为5,记做|-5|=5)的符号。

也就是说,我们在闵氏几何里是根据这个式子来计算一条线段的长度的,Δt和Δx分别代表这条线在t轴和x轴的投影。这个式子跟欧式几何的距离计算公式很类似,唯一的不同还是时间项前面的那个负号。也正因为这个负号,闵氏几何里的线长问题才会变得更我们平常想的不一样。为了让大家熟悉一下这种新的线长计算方式,我先来举个简单的例子。

问题4:大家还记得光子的世界线是一条45°的斜直线把,我们现在随便在光子的世界线里取A、B两点,那么线段OA、OB的长度分别是多少呢?如下图所示:

我们先来看看OA的长度,因为这条直线是45°,所以A点在x轴和t轴上投影得到的距离就是一样长的,也就是Δt和Δx的大小是一样的。但是,闵氏几何里线段长度的计算公式是它们两个相减再开根号,现在这两个值是相等的,那么相减的结果不就是0了么?再开根号结果自然还是0。

也就是说,OA在闵氏几何里的长度为0

你没有看错,它的长度就是0。OA你看着有这么长的一段,但是它在闵氏几何里的长度却是0,这就是那个负号带来的效果。同样的,你可以接着去算OB的长度,或者直接算AB的长度,你会发现它的长度一样全部都是0。

所以,我们有这样的结论:光子的世界线长度恒为0。这很反直觉吧?我们再来看个例子。

问题5:还是上面的图,我过B点做一条垂直于t轴的线,然后随便在BC之间取一条点D。那么OC就是静止不动的粒子的世界线,OD就是一条匀速直线运动的粒子的世界线,OB是光子的世界线,那么它们三个的长短怎么比呢

乍一看,好像的OB>OD>OC。但是我们刚刚算过了光子世界线OB的长度为0;OC是静止不动的粒子的世界线,那么它在空间上的位移Δx就为0,那么OC的长度就是粒子在时间轴里走的长度;OD在时间轴上的投影跟OC一样,但是它的Δx不等于0,那么它们相减(-Δt²+Δx²)之后的数值肯定就变小了,那么OD是小于OC的。于是,我们得到的结论确实跟之前的感觉截然相反的,三者的长度是OC>OD>OB=0

所以,当我们在说时空图了某一条曲线的长度的时候,我们都要意识到我们是用闵氏几何那把尺子(时间项前面有负号)来度量曲线的长度,这跟我们平常生活里感受的(欧式几何度量长度)是不一样的。一开始大家会觉得这种方式非常不习惯,但是一旦习惯了就会觉得这个非常自然。

好了,这里我们介绍了闵氏几何里线长的定义和计算方法,理论上我们就可以计算任意一条线段的长度了,也能比较两条线谁长谁短了。我们上一节不就是最后把尺缩效应归结比较两条线段oa和ob的线长么?那现在可以直接比了啊。

我们看到ob在x轴的投影跟oa是一样长的,但是oa在t轴的投影为0,ob在t轴的投影却大于零。但是,根据闵氏几何的线长公式,线长是这个线段在时间轴t和空间轴x投影长度平方相减再开根号。既然两条线段oa和ob在空间轴x上的投影都一样,那么在时间轴t上投影长度越大的,相减之后得到的值就越小,那么最后的线长就越小。

所以,我们能直接就这样感觉到,在闵氏几何下,ob是比oa更短的。而ob代表的是运动参考系下尺子的长度,oa是静止参考系下尺子的长度,既然ob比oa更短,那么就是说在运动参考系里尺子的长度更短,这就是我们常说的尺缩效应

这里我们是直接用线长的计算公式算出oa和ob的长度然后再来做比较,虽然算出来了,但是可能不是很直观。在许多教材和文章里都会提到另外一种看起来更直观的比较方式,那就是使用校准曲线,很多人也经常看到这个但是不是很明白,我这里就一起再讲一下。

校准曲线其实是回答了这样一个问题:闵氏几何里,到原点距离相等的点组成的轨迹是什么

老规矩,我们先看看欧式几何的情况。在欧式几何里,到原点距离相等(比如说都等于2)的点组成的轨迹是什么呢?这个我们都知道,这就是一个圆,到定点的距离等于定长的点的集合就是圆,这个点就是圆心,这个定长就是半径。

在欧式几何里,如果一个点(x,y)到原点的距离为2,那么,根据勾股定理我们就可以很容易写出下面的关系:x²+y²=4。而学过一点解析几何的人就都知道,这就是圆的坐标方程。

那么,再回到闵氏几何,在闵氏几何里到原点的距离为2的点组成的轨迹是什么呢?其实也简单,我们不是已经有闵氏几何的距离公式了么?代入进去就行了,因为是求到原点的距离,所以Δx和Δt就分别是点的坐标x和t,如下图:

我们把两边平方展开就得到了:

大家对比一下,这个x²-t²=4跟我们在欧式几何里圆的方程只有一个符号的差别(因为坐标轴不同,作为纵轴t和y是完全等价的)。这个式子,学过高中数学的同学一眼就能看出来这是一条双曲线,没学过或者忘了的可以自己去找一些具体的点描上去(自己找一些x的值,然后去算t的值,最后把(x,t)组成的点画到坐标系上去,看看轨迹是什么)。我这里用GeoGebra(这是一个免费的在线数学绘图工具,你输入函数或者方程,它就会自动把对应的图像画出来,有兴趣大家自己也可以去画一画)给大家画了一个图,大家可以看看,双曲线大致就是这么一个形状:

我们先甭管双曲线在欧式几何里的各种几何意义,我们是怎么得到这个图的?我们是在闵氏几何里找距离原点距离相等(这里等于2)的点的集合,也就是说,你别看这个曲线是弯弯曲曲的,但是在闵氏几何里,这个曲线里所有的点到原点的距离都是相等的,都等于2

因为这种曲线上所有点到原点的距离都相等(闵氏几何下),所以我们就可以用这种曲线当作一个标准来校准,这就是把它叫校准曲线的原因。还是那个尺缩效应的图,这次我们用校准曲线来看一下。

大家看到,我加了一条过a点的校准曲线,我们假设它跟x’轴交于c点。这样就非常清楚了,什么是校准曲线?校准曲线就是闵氏几何里到原点的距离都相等的点,因为a和c都在曲线上,所以,在闵氏几何里oa和oc的长度是相等的,也就是oa=oc。而b、c两点都在x’轴上,很显然的ob<oc,合起来就是ob<oc=oa,那我们就很自然地得到了ob的长度比oa更短的结论。

而oa就是在静止的地面系观测得尺子的长度,ob是在相对尺子运动的火车系上观测到尺子的长度。我们得到的结论是ob<oa,这不就是说在运动的参考系里观测到的尺子的长度更短么?完美符合尺缩效应的结论。

在狭义相对论里经常跟尺缩效应一起出现的还有一个钟慢效应,它说相对钟运动的参考系观测钟会觉得它走地更慢一些,也就是动钟变慢(这个不同于广义相对论引力钟慢效应说的引力越大,时间越慢)。但是钟慢效应和尺缩效应在时空图的处理上是类似的,所以我这里就不说了,大家可以自己去画一下,想知道答案的可以参考梁灿彬老师《从零学相对论》的4.2节(没有资料的可以在公众号后台回复“梁灿彬”或“梁老师”,获取《从零学相对论》+《微分几何入门与广义相对论》以及梁老师配套的的教学视频)。

接下来,我们来看一个狭义相对论里让无数新人头痛不已,也让无数科普者无比心烦的一个问题。这个问题用几何语言处理极为简单,但是读者不认,他们不太了解闵氏几何,更无法理解几何图形里代表的物理实质,你凭什么用这个这个就代表了那个那个?但是,这个问题如果用传统的代数语言讲就极为复杂,而且逻辑非常绕,一不小心就在各种相对里面把自己都绕进去了,分析它简直是对智商极大的挑战。没错,这就是大名鼎鼎的“双生子佯谬”问题。

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完整版:闵氏几何是什么?它是如何统一时空并极大简化狭义相对论的?

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oa oa长 ob比oa 直角坐标系 二维闵氏
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