中考数学丨角的位置关系的定义及练习

原标题:中考数学丨角的位置关系的定义及练习

对 顶 角 定 义

在几何学中,对顶角是两个角之间的一种位置关系。

两条直线相交时会产生一个交点,并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说,其中的一个角是另一个的对顶角。

一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角。对顶角的范围介于0度到180度之间,0度和180度不算在内。互为对顶角的两个角相等。

对顶角是具有特殊位置的两个角,对顶角相等反映的是两个角之间的大小关系。

两条直线相交,构成两对对顶角。∠1与∠2为一对对顶角,∠3与∠4为一对对顶角。

对顶角相等的条件:两条直线相交所形成的,且两条边互为延长线的才是一对对顶角。互为对顶角的两个角其大小一定相等。

注意:

1.对顶角一定相等,但 相等的角不一定是对顶角。

2.对顶角必须有共同顶点。

3.对顶角是成对出现的。

在证明过程中使用对顶角的性质时,以 图2-22为例,几何体书写语言为:

∵直线AB,CD相交于点O,

∴∠1=∠2,∠3=∠4(对顶角相等)。

对顶角 - 巧算对顶角:

任何两条直线可以看成一个组合,这样的组合有C(n,2)=n(n-1)/2 ,每个组合有两对对顶角 ,因此n条直线相交于一点,共有2C(n,2)=n(n-1)对。即:

2条直线相交于一点,有(2)对不同的对顶角;

3条直线相交于一点,有(6)对不同的对顶角;

4条直线相交于一点,有(12)对不同的对顶角;

……………………

n条直线相交于一点,有n(n-1)对不同的对顶角。

同 位 角 定 义

如图:

两条直线a,b被第三条直线c所截(或说a,b相交c),在截线c的同旁,被截两直线a,b的同一方,我们把这种位置关系的角称为同位角

如图1.0中的∠3与∠6为同位角,这两个角分别在a,b的同一方(上方),并且都在c的同一侧(右侧)。

两条直线a,b被第三条直线c所截会出现“三线八角”。

同位角的特征识别:

1.在截线的同旁;

2.在被截两直线的同方向;

3.同位角截取图呈类似抽象的“F”型。

4.同位角是成对出现的。

同位角 - 平行线的性质与判定

平行线的性质:两直线平行,同位角相等。

平行线的判定:同位角相等,两直线平行。

内 错 角 定 义

内错角:两个角分别在截线的两侧,且在两条被截直线之间,具有这样位置关系的一对角叫做内错角。

在几何学中,内错角是两个角之间的一种位置关系。

当一条直线D与另外两条直线相交时,处在两条直线之间的角一共有四个。这时,称其中位于直线D异侧的一对角互为内错角,或者说其中的一个角是另一个的内错角。

上图中,红色区域是两条直线的中间部分。

红色区域内,红色的两个角:角 2 和角8是内错角,因为一个在直线D的左侧,一个在直线D的右侧。同样的,绿色的两个角:角 3 和角5 也是内错角。

内错角的性质:

若被直线D所截的两条直线互相平行,那么相应的内错角度数相等。反之,若两条直线被直线D所截得到的内错角度数相等,那么这两条直线互相平行。

内错角的应用和定义:

定义:两个角分别在截线的两侧,且在两条直线之间,具有这样位置关系的一对角叫做内错角。

平行线的判定:内错角相等,两直线平行。

平行线的性质:两直线平行,内错角相等。

内错角的重点:截取出来的内错角呈"Z"形(或反置)

同 旁 内 角 定 义

同旁内角:两个角都在截线的同一侧,且在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为同旁内角。

在几何学中,同旁内角是两个角之间的一种位置关系。

当一条直线D与另外两条直线相交时,位于直线D一侧,并且处在两条直线之间的角一共有两个。这时,称这两个角互为同旁内角。或者说,其中的一个角是另一个的同旁内角。

红色的两个角:角2 和角5 是同旁内角,因为都是在直线D的左侧。同样的,绿色的两个角:角3 和角8 也是同旁内角,因为都是在直线D的右侧。

同旁内角的特识:

1.在截线的同一侧;

2.夹在被截两直线之间;

3.同旁内角截取图呈"ㄈ"型或"コ”型。

同旁内角的定理以及逆命题:

定理:两直线平行,同旁内角互补。【互补角相加等于180°】

逆命题 :平行线的判定:同旁内角互补,两直线平行。

角 的 练 习 题

练习:根据“同位角相等,两直线平行”,证明“内错角相等,两直线平行”,和“同旁内角互补,两直线平行”。

假设角2、角3为同位角,角1、角3为对顶角,角2、角4为同旁内角,角1、角2为内错角

1、证明:因为角1=角2,角1=角3

所以角2=角3,

因为“同位角相等,两直线平行。”

所以证得“内错角相等,两直线平行。”

2、证明:因为角1+角4=180度,角1=角2.

所以角2+角4=180度

因为角3+角4=180度

所以角2=角3,又因为“同位角相等,两直线平行。”

所以证得“同旁内角相等,两直线平行。”

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