哥廷根数学学派：数学史上最辉煌的学派是怎样消失的？它真的消失了吗？

哥廷根老市政厅

那么问题来了：一个远离政治中心的小城，为什么会成为数学的群山之巅？哥廷根学派的精神内核究竟是什么？它为什么在政治暴力面前如此脆弱？它留下的遗产，又在哪里得到延续？

一、高斯：孤独的奠基者

故事要从一个不擅社交的天才说起。

卡尔·弗里德里希·高斯

1777年，卡尔·弗里德里希·高斯出生在不伦瑞克一个普通家庭。少年时代就显露出数学上的卓越才智。1795年，十八岁的高斯在不伦瑞克公爵的资助下进入哥廷根大学学习。三年后他短暂离开，但哥廷根会在几年后再次召唤他回来——这一次，是永远。

1807年，高斯成为哥廷根天文台台长，此后在这里工作、生活了近半个世纪，直到1855年去世。他不常站上讲台，也不热衷于建立一个学派。他更像一座孤峰，沉默地俯瞰着欧洲数学。

高斯为哥廷根设定了一种学术标准，这种标准后来渗透进整个学派的血液里：严密、深刻、追求普遍性。

1796年，年仅十九岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，解决了自欧几里得以来千年未解的难题。五年后，《算术研究》出版。这部用拉丁文写成的著作诞生了现代数论，高斯在其中把数的规律从零散的观察变成了一门严密的科学。

高斯发表出来的，永远只是他思想的一小部分。高斯在日记和手稿里记下了大量未公开的发现——包括他早于罗巴切夫斯基和鲍耶几十年就接触到的非欧几何思想。他选择不发表，因为担心“愚人的叫喊”。他的座右铭是“少，但要成熟”，不成熟的东西绝不轻易示人。这种近乎苛刻的自我要求，后来成为哥廷根学术气质的一部分。

高斯对数学的定位也影响了整个传统。他说：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”（谁懂这个梗：好家伙，这高斯不简单啊!）这句话像是一种纲领：数学不仅要为自然科学研究提供工具，它本身就是一个值得献身的王国。

但高斯只有一个。他可以成为哥廷根的象征，却无法单凭一己之力把它变成学派。真正让高斯的孤立天才变成一条传承脉络的，是他与下一代之间的桥梁人物——狄利克雷。

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二、狄利克雷：高斯与黎曼之间的引路人

狄利克雷

狄利克雷的角色常常被低估，他是一个承前启后的关键节点。没有他，高斯的思想也许还要在孤独中沉睡更久；没有他，黎曼的天才也许不会那么快找到自己的方向。

黎曼在柏林学习期间，狄利克雷就是黎曼的老师之一。黎曼的研究方向也备受狄利克雷的启发。

狄利克雷也与高斯关系密切。他精读过《算术研究》，据说一生都把它放在案头。高斯去世后，正是狄利克雷从柏林来到哥廷根，接替了他在哥廷根的教席。这本身就具有象征意义：不是另起炉灶，而是承续了一个刚刚开始的传统。

狄利克雷的数学风格与高斯不同。高斯沉默、谨慎，习惯把最深的想法埋在笔记本里；狄利克雷则善于表达，讲课清晰，擅长用直观的方法揭示抽象结构。他的一个重要贡献是把解析方法引入数论，从而创造了“解析数论”这一分支。黎曼后来在素数分布上的革命性工作，正是沿着狄利克雷开辟的方向前进。

更重要的是，狄利克雷在哥廷根的时间虽不算长（他于1855年到来，1859年便去世），却完成了一次至关重要的精神传递: 高斯是黎曼的老师，但他年事已高，性情孤僻，能给这个体弱多病的年轻人的直接指导有限。狄利克雷则不同，他欣赏黎曼的才华，与他深入讨论数论与分析，并为他争取在哥廷根的职位。

1859年，狄利克雷去世。也正是在这一年，黎曼发表了他那篇改变数学史的论文。高斯和狄利克雷相继离场，但哥廷根学派的剧目才刚刚开始。

三、黎曼：短暂人生，世纪谜题

波恩哈德·黎曼

1854年6月10日，在哥廷根大学的讲台上，一个32岁的年轻讲师发表了他的就职演讲，题目是《论作为几何基础的假设》。

听众不多，真正能听懂的更少。但据记载，坐在台下的高斯听懂了。他或许意识到，这个体弱多病的年轻人正在回答一个连他自己都犹豫了几十年没有公开触及的问题：空间到底是什么？

黎曼提出了一个全新的几何观念。欧几里得的空间是平直的、均匀的；黎曼却指出，在任意维度中，空间的度量可以随着位置而变化。他用“流形”和“曲率”这些概念，统一了欧氏几何与非欧几何，把几何学从直观的束缚中解放出来。

这篇演讲在当时几乎没有引起轰动，因为能意识到其重要性者寥寥。后来这篇演讲被视为现代微分几何的起点。六十年后，爱因斯坦发现，广义相对论所需要的数学语言，正是黎曼几何。

黎曼的人生紧迫得让人扼腕叹息。他1826年出生于汉诺威王国一个贫寒的牧师家庭，从小体弱，却以惊人的速度推进了数学的好几个领域。

1851年，他在博士论文中奠定了复分析的基础，提出“黎曼面”的概念，让复变函数获得了全新的几何解释。1859年，他向柏林科学院提交了答谢论文《论小于给定数值的素数个数》，提出了那个让此后每一代数学家都魂牵梦绕的命题——黎曼猜想。1866年，黎曼在意大利疗养期间因肺结核去世，年仅39岁。他留下的问题，足够后人研究两百年。

黎曼的贡献，让哥廷根的星空又增添了一道天才的闪光。他代表了一种全新的数学气质：不再满足于解决已有问题，而是主动提出全新的概念框架:不仅追求严密，更追求框架上的统一与思想深度。

高斯在曾在听完黎曼答辩论文报告后这样评价黎曼:“灿烂而丰盈的创造力”，这对于向来吝啬夸奖的高斯来说，是破天荒的。

高斯为哥廷根定下了标准，黎曼则展示了一种可能：在哥廷根，数学可以走多远。

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但一个“学派”的诞生，单靠几个孤立的天才是不够的，它需要制度，需要网络，需要有人把天才们组织起来，需要有人把哥廷根从一个地点变成一种引力场。

这个人，就是菲利克斯·克莱因。

四、克莱因与希尔伯特：把哥廷根变成数学圣地

1886年，克莱因来到哥廷根。这时的高斯已经去世31年，黎曼也已去世20年。哥廷根在德国数学界有传统，但远不是唯一的中心。

柏林有魏尔斯特拉斯和克罗内克，莱比锡、慕尼黑也有各自的强项，更不要说法国还有庞加莱，埃尔米特。

哥廷根的崛起，并不是自然而然的事。克莱因是那个让它发生的人。

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菲利克斯·克莱因

克莱因本身就是一流的数学家。1872年，年仅23岁的他在埃尔朗根大学发表了著名的《埃尔朗根纲领》，提出用群论统一几何学。这一思想影响深远，成为后世理解几何结构的基本框架之一。

但克莱因的真正天才不只是在数学本身，更在于他把数学当作一项可以组织、建设和经营的事业。

他推动建立哥廷根数学研究所，像一位外交官一样从横捭阖，促成大型工业企业与大学研究的合作；设立了系统的研讨班制度，这个研讨班上诞生了无数改变世界的思想；他坚持数学必须与应用结合，与工程技术对话，与物理学家合作；他为研究所争取经费，为大学争取卓越人才，为优秀学者争取职位……他像一个学术帝国的建筑师，一步步把哥廷根打造成一个具有现代化色彩的数学中心。

但要让这座帝国拥有灵魂，克莱因还需要另一个人。

1895年，克莱因邀请年轻的大卫·希尔伯特来到哥廷根。这是一个决定性的选择。

年轻的希尔伯特

希尔伯特与克莱因性格截然不同。克莱因外向、务实、善于周旋；希尔伯特专注、直接、有时近乎天真地相信论证的力量。但他们在一点上高度一致：哥廷根应该成为世界数学的中心，而且他们有能力做到。

希尔伯特到哥廷根后，很快在数学基础领域掀起了一场革命。他的公理化方法，要求把数学命题建立在严格、明确、无歧义的公理之上。这种思想重新定义了现代数学的写作与思考方式。他与克莱因性格互补、分工明确：克莱因负责“建设”，希尔伯特负责“创造”。

1900年，巴黎，第二届国际数学家大会。希尔伯特走上讲台，向全世界的同行提出了23个未解决的问题。这就是后来著名的“希尔伯特23个问题”。

中国数学家邓煜就是因为对希尔伯特第六问题的贡献而获得菲尔兹奖。

这些问题横跨数论、代数、几何、分析、数学物理等几乎全部数学领域。有些问题在几十年后被解决，有些至今悬而未决。但在1900年的那一刻，这个演讲的意义超越了一切具体问题：它宣告了数学的野心。

希尔伯特实际上是在说，二十世纪的数学可以有自己的宏伟蓝图。它不是东拼西凑的解题活动，而是一项有方向、有核心问题的宏大事业。

这个事业的中心，就在哥廷根。

二十世纪初，哥廷根成为真正的“数学麦加”。来自世界各地的年轻数学家来到这里：美国人、日本人、匈牙利人、俄国人、意大利人。他们来参加数学物理研讨班，拜访著名教授，在咖啡馆里争论到深夜。学生和教授之间的关系，远比传统德国大学平等。

希尔伯特会在哥廷根老城墙根散步时和学生讨论问题，和青年讲师在老酒馆的桌子上演算数学问题，周末还常常在自家花园里举办音乐会。哥廷根的氛围，既有德国传统大学的严谨，又有一种几乎属于现代学术会议的开放。

正是在这种氛围中，数学基础的大论战爆发了: 罗素悖论动摇了人们对数学固有确定性的信心；荷兰数学家布劳威尔主张直觉主义，认为数学不过是人类心灵的构造，排中律不能无条件生效。

排中律是两千年来经典逻辑的基石：任何命题，命题本身与它的否定命题，二者必有一真，不存在中间地带。

希尔伯特坚决反对。“把排中律从数学家手中拿走，无异于剥夺天文学家的望远镜，禁止拳击手使用拳头。“对他来说，数学才不是人的心理活动，数学是一个客观的逻辑系统。

他提出“证明论”，希望用有限的方法证明数学系统的一致性。这场论战持续多年，甚至激烈到希尔伯特一度考虑把布劳威尔赶出期刊编辑部。

但无论胜负如何，这场争论本身恰恰说明：哥廷根已经站在了世界数学思想的中心。它能提出问题，能让这些问题变得无法回避。

高斯和黎曼为哥廷根注入了天才基因，克莱因和希尔伯特为它建立了学术制度、网络和野心。

五、群星闪耀：诺特、外尔、柯朗与黄金一代

在一所好的大学里，大师会吸引更多大师。二十世纪二十年代的哥廷根，正是这样的地方。

埃米·诺特是这群人中最独特的一个。

埃米·诺特

她在哥廷根工作多年，却长期没有一个正式的教授职位。原因在今天看来很荒唐：她是女人。

当时的德国大学体系中，女性被排斥在正式教职之外。希尔伯特为此愤怒不已。在一次关于聘用诺特的争论中，有人以传统为由反对女性进入大学讲台，希尔伯特反驳道：“这里是大学，不是澡堂。”

但在那个性别偏见深重的时代，诺特始终没有在哥廷根获得应有的正式地位。尽管如此，她的影响力却不可阻挡。

她在抽象代数领域的工作，彻底改变了二十世纪数学的面貌。她提出的“诺特定理”揭示了对称性与守恒律之间的深刻联系，成为现代理论物理的一块基石。后来的物理学家说，诺特定理与能量守恒、动量守恒这些基本原理一样根本。

诺特定理的核心表达：物理系统的作用量每具有一个连续对称性，就必然对应一条守恒律。

她的学生后来散布到世界各地，形成了一个庞大的“诺特学派”。

赫尔曼·外尔则是另一种天才，他在数学、物理学、哲学之间自由穿行，似乎对边界毫无敬畏。

赫尔曼·外尔

他在流形理论、规范理论、量子力学的数学基础方面都做出了开创性贡献。他是希尔伯特最看重的继承人之一，也是那个时代少数几个能与爱因斯坦在思想层面直接对话的数学家。外尔身上体现的，正是哥廷根学派一种信念：数学不是一座孤岛，它与自然哲学、与物理世界深刻相连。

诺特和外尔代表了哥廷根的创造性，理查德·柯朗则代表了它的延续性。

理查德·柯朗

柯朗是克莱因精神最直接的继承者：一个组织者，一个教育家，一个相信数学应该与社会、科学、工程相结合的人。克莱因退休后，柯朗实际管理着哥廷根数学研究所的日常事务，让这座学术机器高效运转。

他编写的《数学物理方法》至今仍是这个领域的经典教材。后来他流亡美国，在纽约大学以同样的方式重建了一所数学研究所，在大洋彼岸延续了哥廷根的学术传统，也就是今天的纽约大学柯朗数学科学研究所。

前不久菲尔兹奖得主王虹就是在柯朗数学科学研究所兼任教授

这一代人中，还有闵可夫斯基，他提出四维时空，直接启发了爱因斯坦的广义相对论；

还有冯·诺依曼，他在哥廷根时期完成了量子力学的公理化工作，后来成为计算机科学的奠基人之一；

物理学家玻恩、海森堡、奥本海默也都曾在这里学习或工作；

日本数学家高木贞治曾在哥廷根受希尔伯特的熏陶，带回代数数论的问题视野；回到日本之后，发展出类域论的核心思想；

美国数学家桑德斯·麦克莱恩后来回忆，在哥廷根的岁月决定了他一生的数学方向。

哥廷根的天空下，数学是一片大陆的十字路口——代数学、几何学、分析学、物理学在这里交汇。

最重要的，是一种数学科学共同体的感觉。那是一种“真理优先于个人”的信念。人们激烈争论，但争论的目的是更清楚地理解问题。竞争存在，但绝不像某些学术食堂那样狭隘。对哥廷根的大多数人来说，数学是比任何个人都更伟大的事业。

六、物理学革命中的哥廷根

这种信念很快在物理学革命中得到验证。

爱因斯坦开始思考广义相对论时，遇到了一个根本性的困难：他需要一个能描述弯曲时空的几何框架。这个框架在哪里？

答案在哥廷根。确切地说，在黎曼1854年的那篇就职演讲里。

黎曼几何为爱因斯坦提供了描述引力的数学语言。几乎在爱因斯坦完成广义相对论方程的同时，希尔伯特也在独立地推导同一个方程。两人几乎同时得到正确答案。

希尔伯特以数学家的路径，从变分原理出发搭建引力理论框架；爱因斯坦则凭借物理直觉一步步摸索，得到最终形式的广义协变场方程。这在当时引发了一场关于“谁先写出场方程”的争论，但两人很快和解，希尔伯特并没有非要争个先后的意愿，而是说广义相对论的物理思想完全归属于爱因斯坦。哥廷根的纯数学传统，竟然精确地预见了物理世界的需要。

希尔伯特后来回忆这一段历史时说了一句半开玩笑的话：“哥廷根大街上任何一个人对四维几何的理解，都超过了爱因斯坦。”

这话当然夸张，带着他那种特有的骄傲，但它也揭示了一个事实：黎曼几何在哥廷根不是死去的古董，而是一个活着的传统；当物理学需要它的时候，它已经准备好了。

量子力学的故事也是一段传奇。当海森堡在1925年提出矩阵力学时，他还没有意识到自己所用的数学结构，其实就是当时数学里一个小众分支，被称为“矩阵”。是玻恩和约尔当在哥廷根把这套理论翻译成严格的数学语言；希尔伯特空间、算符理论，这些抽象工具后来成了量子力学的标准词汇；后来冯·诺依曼在哥廷根时期的工作，为量子力学提供了一个严格一致的数学基础；玻恩提出的概率诠释，让初生的量子力学从一组数学规则变成了一套物理理论。

二十世纪物理学的两次伟大革命——相对论和量子力学——都离不开哥廷根的数学。

这不是纯粹的偶然。哥廷根学派从来不相信“纯数学”和“应用数学”之间的严格分界。克莱因坚持数学要与科学和工程对话，希尔伯特则相信数学统一的宏大图景，而诺特定理就是这种信念的完美体现：一个纯粹的代数对称性，竟然对应着物理世界中不变的守恒量。

当爱因斯坦需要黎曼几何，当量子力学需要希尔伯特空间，哥廷根已经准备好了。

七、纳粹阴影与学派的流散

1933年1月30日，希特勒成为德国总理。两个月后，《恢复职业公务员法》颁布。所有“非雅利安血统”的公职人员——包括大学教师——被解雇。

犹太裔教授首当其冲。诺特被迫离开德国。她在美国的布林莫尔学院和普林斯顿高等研究院找到了暂时的栖身之所，但仅仅两年后，1935年，她因手术并发症去世，年仅53岁，再也没有回到哥廷根。

外尔离开，柯朗离开，玻恩离开，冯·诺依曼早已在美国；一批又一批年轻的研究者、学生、助手，像候鸟一样飞散，但这次他们没有回来的季节。

他们大多去了美国。普林斯顿高等研究院成了一个“新哥廷根”。爱因斯坦、外尔、冯·诺依曼在那里继续工作。柯朗在纽约大学重建了数学研究所，使它成为应用数学的堡垒。哥廷根数学传统的核心人物几乎全部流失殆尽。

留下来的，是一个年迈的希尔伯特。

有一天，纳粹教育部长问他，哥廷根的数学如何受到了“清除犹太影响”政策的冲击。希尔伯特抬起头，用他那带着东普鲁士口音的德语说：

“冲击？没有什么冲击了。哥廷根已经没有数学了。”

据说纳粹当局要求希尔伯特填写一份表格，声明他的种族出身。希尔伯特在表格上只写了一行字：“数学。”

这个细节未必完全真实，但像所有伟大的传说一样，说出了一种更深层的真实：对一个把一生都献给数学的人来说，数学就是他的身份，他的祖国，他的信仰。

希尔伯特逝世于1943年，战争局势已经不利于德国，炮火连天，这个曾经的世界数学首都，虽没有遭受大规模轰炸，但也稍显破败。他的葬礼冷冷清清，据说参加的人不到十位。

希尔伯特墓

哥廷根能解决最抽象的数学难题，却无法解决最具体的政治野蛮。

几十年积累的学术生态，在几个月内就被摧毁。研讨班停办，期刊衰落，国际声誉一落千丈。

那些流亡的数学家把哥廷根的传统带到了美、英等国，重新开花结果。

八、遗产与回响

哥廷根数学学派没有真正死去，它只是改变了形态，像一条河流改道，流进了新的土地。

普林斯顿成为新的中心。希尔伯特的学生外尔在那里继续工作。冯·诺依曼在那里发展计算机理论。爱因斯坦在那里度过晚年。柯朗在纽约建立了一个延续至今的研究所。诺特虽然早逝，但她的学生在战后美国数学界占据了重要位置......哥廷根的国际化、跨学科、问题导向的学术精神，在这些地方继续生长。

希尔伯特23个问题成了二十世纪数学的坐标。其中一些已被解决，每一个解决都带来巨大的声誉。那些尚未解决的问题，仍然在指引着今天的数学家。

更深刻的遗产在于思想层面：公理化方法、结构主义、数学与物理的互动、对数学统一性的追求——这些都成了现代数学的基本特征。

今日的哥廷根依然是德国的一座大学城，也有不错的数学传统，但它已经不再特殊。世界数学的研究中心如今分散在多个国家、多座城市。这或许正是哥廷根学派最大的胜利：它没有留下一个唯一的“中心”，而是让它的精神变成了一种全球性的存在。

希尔伯特的墓志铭：

“Wir müssen wissen. Wir werden wissen.”

“我们必须知道，我们必将知道。”

他的信念没有错。数学确实继续了下去，只是不再以哥廷根为中心。

哥廷根数学的故事，是一台传奇式的，关于天才、自由、开拓、传承、毁灭与重生的宏大剧作。学术的繁荣从来不是机缘巧合活着理所当然，它需要制度，需要宽容，需要自由、需要国际协作，需要对真理的忠诚。

时至今日，世界各地的数学研究者仍在沿用黎曼的流形与黎曼曲面、依托希尔伯特的不变量理论与泛函分析框架、使用诺特环与理想链条件开展推演。哥廷根的精神依然活着，但早已不再依附一座实体城市而存在。

再也没有“哥廷根的数学”了，它已经变成了所有人的数学。

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