作者：陶哲轩（Terence Tao）
"数学在十九世纪经历了一场极其深刻的变革，称其为这门学科的第二次诞生，也不算过分——它的第一次诞生发生在古希腊人中间……"
——霍华德·斯坦（Howard Stein），《逻各斯、逻辑与逻辑术：关于十九世纪数学变革的若干哲学评论》
"我死掉的报道，言过其实了。"
——马克·吐温
"愿你生活在有趣的时代。"
——（传统说法）
我最近参加了一场会议，与会者是 Convergent Research 支持的一批创新型科技创业公司——Convergent Research 也是 Lean FRO 的主管机构，后者是一家开发 Lean 定理证明器的非营利组织。这场会议本就是为了激发讨论而设计的；当我自我介绍说自己是数学家时，许多参会者都急切地想聊聊近来 AI 领域的进展对数学的影响，以及数学界的反应。他们很意外地听到，我觉得包括本博客和 Proofs and Prompts 在内的社区回应，总体基调是积极、鼓舞人心的——尽管我们所有人都清楚，我们职业生活的根本面貌注定会改变。这些讨论帮我理清了下面这些我想在此分享的思考。
关于数学家做什么，有一种狭隘的看法，它凝结在我们的日常工作流程里：我们去解题；当难题太难时，就构造更容易的近似问题，把它们解出来，然后再变动参数。过去几个月发生的事情打乱了这个套路——一年前还完全够格发表的成果，如今靠 AI 的帮助就能轻松生成。这让我们开始担忧：今后做数学到底意味着什么？又该如何培养和扶持下一代数学家，去做那件"什么"？
数学的历史给我们提供了更广阔的视野。几百年的变迁之中，始终不变的是：数学是一种严格推理与交流的文化，它给我们提供语言和抽象，让我们能更可靠、更高效地思考和沟通。即便在 AI 时代，这种推理显然依然重要。我们许多人觉得数学具有美感，这一点并不削弱它的实用价值，恰恰相反，是它的实用价值解释了这种美感：我猜，做数学之所以感觉这么好，是因为它锻炼的那些能力对我们这个物种的生存太过根本，早已写进了我们的 DNA。如果这个判断没错，数学思维短期内不会消失。
真正的挑战在于：当我们把活儿交给 AI 去干时，解决那些我们做了几十年的问题，就和增进数学理解这一目标脱钩了。所以问题不是我们是否还需要数学，而是：在 AI 时代，该如何追求数学理解。我给出三个大方向的回答。
去解更难的题
当今的基础模型有两个显著特点：第一，它们读遍了全部数学文献；第二，它们不知疲倦——一群智能体可以尝试无数种变体，一路摸索到答案。这就解释了为什么我们已看到的那些 AI 给出的"未解问题"解答，气质都很相似：它们都是 AI 能靠拼接现成技巧解决的问题。（感谢马修·巴拉德（Matthew Ballard）提出这一概括，以及随后的分析。）
每一个有意思的数学问题都能这样被回答吗？大概不能；而且即便能，有些问题也可能存在更有趣、更令人满足的解法，需要引入新想法和新洞见。也许在不久的将来，AI 系统能有这样的洞见；但至少，我们得承认，现在还不行。强化学习的训练方式，是让系统把惯常的招法串起来，并从那部成败交织的历史中学会：在某个状态下，哪一招最有希望。一个动作的价值仅仅由最终轨迹是否成功来打分，这会养出超人般的机灵，却可能错过创造力和更高层次的战略谋划。无论如何，仍然有难题等着被解决，仍然有雄心勃勃的研究纲领值得追求，而借助 AI 在这些事上取得进展的前景，令人兴奋。
想得更大
如果我们眼前的处境是：数学就是给外星人布置的习题一本本打勾——没完没了的练习和考试——那现在的局面会令人沮丧得多。好消息是：做数学时，题是我们自己选的，答案是我们自己判的，我们还可以偏爱自己最喜欢的那几个。什么让我们觉得有趣、要追什么问题、为什么追，都由我们说了算。命运握在自己手里。
我们在数学中最钦佩的那些东西，常常像是凭空冒出来的。1853年，年轻的波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）向导师卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）提交了三个备选题目，供其为自己的一场就职演讲挑选——这场演讲是他为在哥廷根大学谋得教职所必须做的。据说高斯偏偏挑中了黎曼最没准备的那个题，想看看他能做成什么样。由此产生的演讲《论几何学基础的假设》于1868年在他身后发表，彻底改变了这个领域。这篇演讲把空间的度量性质与拓扑性质区分开来，并引入了流形的一般概念——尽管直到二十世纪，流形才得到完全严格的处理。对空间内蕴性质的关注——在黎曼几何中，即由度量决定、与是否嵌入更大的空间无关的那些性质——是几十年后爱因斯坦广义相对论的关键。黎曼几何后来的应用，如机器人学、医学成像、统计分析，是黎曼本人无论如何也想象不到的。
威廉·埃瓦尔德（William Ewald）那本出色的资料集《从康德到希尔伯特》，对这篇论文做了很好的介绍，并引用了费利克斯·克莱因（Felix Klein）对它的描述：
"［黎曼的演讲］发表的时候，正是我开始独立钻研数学问题的时期。所以，黎曼的思路给当时年轻数学家带来的非凡冲击，我仍记忆犹新。许多地方在我们看来晦暗而难以理解，却又深不可测；而今天的数学家，从一开始就把这一切吸收进了自己的思维方式，只会赞叹其表述之清晰、之丰饶。"
令年轻的克莱因觉得晦暗神秘的东西，如今已是经典的一部分，是基础模型通过训练吸收并内化的东西，正如年轻数学家所做的那样。这里我要再次感谢巴拉德提出这个例子，并指出：任何强化学习的设置，都不可能对黎曼的那些选择作出评估——它的收益分散而难以追踪，时间尺度也实在太长。
对于无数开辟了新视野的数学发展，同样的话也成立，比如伽罗瓦（Galois）用置换群研究代数方程的可解性、庞加莱（Poincaré）对动力系统的定性研究，或者格罗滕迪克（Grothendieck）影响深远的概念革新。AI 最终能不能做出这样的推进？这甚至不是该问的问题。告诉我们某个 AI 智能体正在推出对它自己和其他 AI 智能体来说都很有意思的定理，对我们毫无用处。我们只应当在"结果对我们有意思、对我们重要"这个限度内去关心 AI；而归根结底，什么算有意思、算重要，得由我们自己来定。我们赋予数学发展的价值，扎根于我们的历史和文化。
设想你计划去阿拉斯加荒野背包徒步，为了锻炼和消遣。你可能乐意让 AI 帮你订机票，但不会让它替你走这一趟，然后给你发点照片。在数学里，押上的不是我们的消遣，而是我们对自身推理和深思的主导权。无论 AI 能不能思考，它都没法替我们思考。我们有自己的日子要过；数学是我们的故事，怎么讲由我们决定。有了 AI，可探索的东西只会更多，发现之路从不匮乏。
去试新东西
到目前为止，我都聚焦在用 AI 帮我们做过去一直在做的事；但别忘了，这些技术本身也提出了新问题，而如何有效地使用它们，我们还有很多要学。我在另一篇文章里（已排定在《美国数学会会刊》（Notices of the AMS）发表）主张，数学家应当积极参与到理解这些技术如何运作中去，并想出新奇、有创意的方式，用它们来做新的数学。
AI 改变"做数学"的含义，并非没有先例。十七世纪用代数方法解几何问题，就是一种新技术，也并非人人都喜欢；可我们掌握了这些新技巧，并学会用它们取得了巨大成效。同一世纪晚些时候的无穷小量、十九世纪的代数结构、二十世纪初的集合论抽象与结构语言，以及更晚近的数值计算和符号计算，都是如此。它们刚出现时，都显得陌生而令人不安。我们应当把那些投入时间精力、让证明助手和神经网络帮我们发现新数学的人，看作是在做正正经经的数学，而不是把他们贬为技术员。在 AI 时代，开发符号自动化或训练一个神经网络，对数学的贡献可以不低于手推一串推理去证明一条定理。
我听到过一些论调说，随着就业市场萎缩，我们应当转向内部，守住传统的数学技能。恰恰相反：我相信，拥抱新技术、学会用它们来提升我们推理和发现新数学的能力，才能让这门学科保持强健。扩展我们对数学的视野，是壮大这个职业、让它保持相关性的最好办法。
我们对下一代要说的话
我对未来的乐观展望，以及"去解更难的题、想得更大、去试新东西"这些轻巧的建议，并不能给那些感觉脚下地面正在移动的学生和青年研究者多少安慰。我说这些，不是要淡化前方的挑战，也不是要暗示这场震荡有轻松的应对。数学系、学界领袖、教育工作者、专业学会和期刊编委会，正在各处召开紧急会议，尽力给出具体的建议、采取恰当的行动。我们面前的任务相当艰巨。
尽管充满不确定，有些话是我们能明确说给下一代数学家的。第一，我们和你们站在一起。对我们来说，没有什么比这门学科的健康和强大更重要，也没有比确保你们能够茁壮成长更重要。我们有足够的谦卑去承认：我们的经验和专长是有限的，我们过去以为知道的某些东西，如今已经不再成立。我们承诺尽己所能与你们合作，守住这个职业、让它保持坚实。
第二，数学今天和以往任何时候一样重要，而我们需要你们。AI 绝不能取代我们集体进行推理和深思的能力，而数学仍是这种能力的核心。我们无法想象一个数学不在我们生活中扮演重要角色的世界。
第三，接下来几年会极其"有趣"。我们身处新的前沿，共同的规范、价值和期待正开始崩解，而该用什么来取代它们，要靠我们所有人去弄明白。我相信，未来的历史学家会把这一刻看作数学新纪元的开端，他们也会掂量我们行动与决定的后果。数学从来不是为怯懦者准备的；这是我们的机会，去挺身而出，共同迎接挑战。返回搜狐，查看更多