文/无忧公主(责编:许兴华)
【来源】公众号：无忧公主的数学时间
大家可能对直角坐标系的接触比较少，三角函数也可能不能熟练运用，更没有仔细 “ 研究 ” 其中的奥秘吧。今天给大家讲的 sin x 的泰勒展开，可能会给大家带来对三角函数不同的印象吧。sin x 的泰勒展开也需要大家对 “ 无穷 ” 有一定的了解，会用到以前没有讲过的 “ 微分 ”，所以大家不要害怕 “ 复杂 ” 的符号哦。下面是一些相关的链接，建议先阅读一下：
觉得泰勒展开很有意思的
——无忧公主
什么是微分
简单的介绍
在所有之前，我们来讲一个名叫 “ 微分 ”的东西（虽然这样称呼 “ 微分 ” 可能会生气的），学过的同学也最好复习一下。在泰勒展开中，由于只有 x，微分也可以看做是求导数（y 跑过来之后，就要把导数踢走了哦）。言归正传，一般常数的微分等于 0：(a)'=0，大家顺便看一下微分的表示方法，其实和导数没什么区别。
x ^ n 的微分等于 n ( x ^ (n-1) )，我觉得挺好记的，就是把指数拽到系数那里去，然后指数肯定要减 1（都被拽走了嘛）。接下来的两条微分的性质（“ 规则 ”）可能并不是所有人都知道。① ( sin x )' = cos x；② ( cos x )' = - sin x。是不是挺神奇的？记得好好利用，泰勒展开中要用哦。
什么是泰勒展开
这才是重点
你有没有想过，sin x 可以如何 “ 展开 ”？写成式子就是：
最后以省略号结束，代表 “ 无穷 ”，需要求的就是 a0，a1，a2，…… 的值，准确地说就是通项公式。然后，我们就可以开始 “ 微分 ” 了，就是等式两边同时、不停地微分下去。左边的三角函数的微分，其实是四个一循环的：sin x ➜ cos x ➜ - sin x ➜ - cos x，再回到 sin x……我们也会注意到，凡是把右边微分后，第一项（常数）就为 0 了，也就是可以直接忽略。
真是一件令人高兴的事吧，因为这样一来，等式左边在有规律地循环着，等式右边每次都减少一项。当然，x = 0 时等式也会成立，那将 x = 0 带入，将消去所有 x 指数大于 0 的项（都是 0 啊）。这样一来，就可以顺利求出 a0，a1，a2，……啦，sin 0、cos 0、- sin 0 和 - cos x 分别是 0、+1 、0、-1（显然的规律）。上面是微分的过程，下面是对于所有系数得到的等式。
归纳和总结
最后的结果
说了这么多，大家都已经能够顺利求出所有的系数了（数列 a 咯），现在来总结一下我们的结果（不能那么草率地就做完了啊，这个答案显然不令人满意，需要有正规的通项公式）。首先，等式左边是四个一循环，可以从除以 4 的余数来考虑（分类）；然后，等是右边可以用字母来代替，就是 k! × ak，这里 k! 代表阶乘。所以说，我们可以得到一个看上去漂亮的结果：
如果将系数数列 a 代入，那么偶数项都会消掉（系数为 0），只剩下一加一减的奇数项了。这就是 泰勒展开（其实泰勒展开有好几个，这里只是 sin x 的泰勒展开）：
好啦，sin x 的泰勒展开就讲到这里，不过实际上还能延伸出一些其他问题，就不多介绍了。你有没有想过三角函数有这么神奇呢？还是微分的功劳吧（虽然你可能还不是特别理解微分，但这并不妨碍我们解决泰勒展开哦）……
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