傅里叶、拉普拉斯变换与 Z 变换，今天我也来做下这三个变换笔记。无论是通信工程，电子信息工程、生物医学工程、物理、微电子、自动化、电气工程及自动化、计算机等等，这三个变换都必须要学习到，可以这么说，凡是理工科学生，如果没学会这三个变换，你的专业等于是白读了，不过我似乎说的夸张了些。
三个变换，本质上就是套用三个数学公式做了相应的积分变换，在实际工作中这些复杂的变换与计算通常是查表或者用类似 matlab 或者mathcad 之类的软件去做计算，本笔记主要介绍这三个变换的三个公式的推导，以及三个变换的关联性。关于三个变换原理或者应用方面的知识，不在阐释了，网络上已经有很多这方面的文章。
本笔记参考书籍《信号与系统》-----郑君里版本。
从数学上理解这些变换都属于积分变换,并有相应的关联性。其实只要知道傅里叶变换的公式，后面两个（拉普拉斯与 Z 变换）都可以通过傅里叶变换变化而来。首先来推导：第一个变换公式傅里叶变换，其次从傅立叶变换中引出拉普拉斯变换，最后 Z 变换是从抽样信号的拉氏变换中引出。
1
傅里叶变换：（频域分析）连续系统
介绍傅里叶变换前，先解释两个概念 “频谱分析”和“傅立叶级数”，然后从傅里叶级数中引出傅里叶变换的概念。
频谱分析：就是将时域的信号（信号可以是周期与非周期信号）变成频域形式并加以分析的方法称为频谱分析。其目的是把复杂的时域波形，经过某种变换分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波和相位信息。这某种变换可以是傅里叶级数，也可以是傅里叶变换进行变换.这两者目的都一样，都是把时域信号变成频域以便于信号分析。
其实傅里叶级数只是属于傅里叶变换的一种特殊的表达形式。
那么什么是傅里叶级数？
小贴士
▲傅立叶级数：
long long ago …法国有位数学家叫傅里叶，他有了个新发现，任意周期函数（周期信号）可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，这种用三角级数表示形式就是傅里叶级数。但三角级数表示的傅里叶级数有个缺陷就是求频谱系数比较麻烦，所以又想到了通过欧拉公式把三角级数变成了指数级数的表示形式，很明显这不仅仅在求谱系数上,在做积分上指数形式也更简单了，那么用指数形式表示一个信号也是傅里叶级数。
傅里叶级数有两种表示形式：分别为三角级数形式和指数级数形式，这两种表示形式都可以称为傅立叶级数。如公式（a）, ( e )。
( 前面说了对信号做频谱分析可以用傅里叶级数展开，也可以用傅里叶变换，但是通常我们对周期信号是用傅里叶级数展开，而非周期信号用傅里叶变换。)
看了是不是还有点迷糊？那我们就用数学公式来描述吧，这样也许更直观些。
假设有个周期信号 f（t），周期为 T1 ,角频率为 ω1=2*π/T1，频率为 f1，要做频谱分析怎么办？
那就傅里叶数展开吧。
2
三角形式的傅里叶级数
由上可见，公式 a 左边 f（t） 是一个周期信号，而右边是一个三角函数的线性组合，或也可以称为三角级数表示方式，那么这种三角级数的表示方式就称为傅里叶级数。
但公式（a）有个问题，就是说在每个频率点上可能会有两个三角函数，这不利于信号能量的计算或图形表示，为了便于画图我们做了一些变换，用三角公式中的合角公式对公式（a）进行了转换，把同频率的项加以合并，于是得到了余弦形式的傅里叶级数或正弦形式的傅里叶级数，如式（b）,（c）
由上总结：
1. 一个周期信号可以分解成了直流分量、基波（ω1），和各次谐波（基波角频率整数倍 n*ω1）的线性组合。
2. 周期信号频谱具有离散型，谐波性，收敛性。
到此三角形式的傅里叶级数已经介绍完，但是我们发现三角形式还存在一些问题，我们前面也有提到过，求谱系数不好求，做积分也不好做，怎么办？于是想到通过欧拉公式转换到指数形式的傅里叶级数。
3
指数形式的傅里叶级数
我们把公式（a）抄下来，
然后由欧拉公式得到
把公式（d1）（d2）代人公式（a）
得到
由三角形式傅里叶级数公式（a）中正余弦分量幅度可知，见式（a2）（a3），得出 an 是 n 的偶函数，bn 是 n 的奇函数。
所以得出:
将式 （d4）（d5）代入 （d3）得：
令：
得到 的指数形式的傅里叶级数
将正余弦分量,式（a2）（a3）代人（d4）可得到指数形式傅里叶级数的系数，如下式 （e1）。
其中，F（nω1）-- à可以简写成F（n）
傅里叶级数的系数:
小结：
到此傅里叶级数的两个公式我们已经求出
但是这两个公式都应用于周期信号的频谱分析，那么对非周期信号我们怎么做呢？于是傅里叶拿出了专门准对非周期信号频谱分析的公式，这个公式就是我们说的傅里叶变换，其实这个公式就是从傅里叶级数公式中演变过来，下面介绍怎么从傅里叶级数中变出这个傅里叶变换的公式。
4
傅里叶变换的引出
什么是傅里叶变换？一句话，傅里叶变换就是把一个信号，（这个信号可以是周期与非周期信号）分解成无数的正弦波信号的相加的一种变换。（它属于一种积分变换）这些信号可能幅值，频率相位各不相同的信号。其实这个概念跟傅里叶级数是相似的，但是不同地方傅里叶变换还可以对非周期信号进行频谱分析,那么下面就开始推导这个公式。既然是傅里叶级数演变过来，那么我们先把傅里叶级数指数形式公式拿下来，如下。
假设这个周期信号 的周期为 T1,
我们说信号周期趋向 T1无穷大∞。
这个周期信号便变成了非周期信号。
谱系数F（nω1）趋向于0。
离散谱变成连续谱。
趋向于无穷大时，ω1 趋向0，谱线间隔趋向于0。
所以再用谱系数F（nω1）表示频谱不合适了，为此引入了频谱密度系数。
为了获得频谱密度系数，我们把谱系数公式（e2）,两边同乘 T1 ,（等于除以 f ）得到公式（e3）
然后公式右边 T1 被消掉了得到了公式 ( e4 ) 。
公式（e5）左边是频谱值F（nω1）除以频率 f，表示单位频带上的频谱值，这其实就是频谱密度了。
我们看公式 ( e6 ) 右半部分，当 T1--→∞ ,
所以积分上下限分别改为 +∞ 和 -∞，（nω1）-→ω，
所以（e6）右半部分变成了，
这样式（e6）,就变成了下面（e7）了。
考虑到在实际系统中遇到的总是因果信号，信号起始时刻为零，于是在 t<0 的时间范围内 f( t )=0 ,这样积分下限从零开始,于是式 ( e7 ) 变成
这个公式 ( e8 ) 就是傅里叶变换了，见式 ( e8 ) 就是有 f（t）求 F（ω）称为傅里叶变换，也叫傅里叶正变换。
关于傅里叶反变换有 F（s）求 f（t）这里就不详述了,公式如下.
5
拉普拉斯变换：（复频域分析）连续系统
做傅里叶变换有个条件，满足狄里赫利条件，要求信号 f（t）绝对可积，此条件限制了某些上升信号如 e^at ,无法求傅里叶变换，为了使这样更多类似信号存在变换，引入了一个衰减因子 e-σ t ,即在原信号 f（t）乘以 e-σ t ,这样绝对可积条件满足，就可以求出 e-σ t *f（t）的傅氏变换了，公式如下。
把式（f1）代入公式（F）得到下面公式 （F2）
式 （F2）就是有原函数 f（t）,求象函数 F（s）的拉氏变换了,对拉氏逆变换也可以从傅氏逆变推出，这里不在描述。
公式 （F3）则是有象函数 F（s）求 f（t）逆变换。
小结：
到此拉谱拉氏变换公式求出，如式 （F2）是单边的拉氏变换，双边拉氏变换只是把积分下限 0 改成 -∞ 如上所述，拉氏变换是在傅氏变换基础上了引入衰减因子，它把 f（t）分解成无限多个变幅、振荡之和，并振幅随e-σ t变化，它把傅氏的频域分析延伸到了复频域分析，它可以说是傅氏的升级版本。它最明显好处是把微分方程变成代数方程求解，从而使计算简化。
在自动控制理论中对控制系统的分析和综合，都是建立在拉氏变换的基础上的，由此可见搞控制专业的这个拉氏变换是非常重要。
6
Z 变换：（Z 域分析）离散系统
在离散系统或数字控制系统中出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变换就提了出来。Z 变换最明显优点是它把离散系统的数学模型----差分方程变成了简单的代数方程，这使求解变得简化，也便于写程序。
其实z变换就是借助抽样信号的拉氏变换引出。
首先抽样信号 xs（t）如式：
式中 x（t）为一个连续的因果信号， δT( t）实际上一个周期的冲激信号，因具有抽样性，所以两者相乘后的实际意义就是对 X( t ) 连续信号的采样，其中抽样间隔为 T 。
我们知道因果信号起始时刻为零，于是在 t<0 的时间范围内 f( t )=0 ,这样 ( z1 ) 积分下限改从零开始。
所以（z1）式变成了（z2）式，然后对（z2）取拉氏变换。
即对信号 xs( t ) 乘一个衰减因子 e-st ，然后再积分，这就是拉氏变换，如公式（z3）。
公式（z3）中， 为抽样值，δ( t - nt ) 是冲激信号.
我们把公式（z3）变换一下,就是将积分与求和的次序对调，于是得到了式（z4）,对冲激信号先拉氏变换。
注意式 ( z3 ) 先求和后拉氏变换与 ( z4 ) 先拉氏变换再求和结果是相等的。
我们再来看 z4 的积分部分
δt 积分等于1，-nt 表示时移 e-nst，所以 1*（时移因子e-nst）最终积分结果如（z5）
式（z5）就是对抽样信号的拉氏变换。
为了美观些或看起来简便些吧，令衰减因子 e-st=Z，令 T=1 ，并代入 ( z4 ) ,得到了式 （z6）
公式 ( Z6 ) 就是 Z 变换的公式了。
注意：与拉氏变换一样, Z 变换也有单边 Z 变换与双边 Z 变换之分，同样双边Z变换,只是把 n下限有 0 改成 -∞
所以公式 ( Z6 ) 为单边的 Z 变换，而因为我们通常用的都是单边 Z 变换所以这里只列出单边 Z 变换的公式。
到此傅里叶，拉普拉斯， Z 变换的三个公式已经全部求出。返回搜狐，查看更多