丘成桐:我们真的活在十维时空吗?

原标题:丘成桐:我们真的活在十维时空吗?

作者简介:丘成桐为美国哈佛大学数学与物理教授,美国科学院院士,中国科学院外籍院士,菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖得主。发展了强有力的偏微分方程技巧,使得微分几何学产生了深刻的变革,解决了卡拉比(Calabi)猜想、正质量猜想等众多难题,影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。筹资成立浙江大学数学科学研究中心、香港中文大学数学研究所、北京晨兴数学中心和清华大学丘成桐数学科学中心等学术机构,并担任主任;1998 年创立世界华人数学家大会(ICCM),毎三年举办一次。由于对中国数学发展的突出贡献,获得 2003 年度中华人民共和国科学技术合作奖。科普著作有《大宇之形》(2012)、《从万里长城到巨型对撞机》(2016)、《简史:哈佛数学150年》(即将出版),主编科普杂志《数理人文》和丛书《数学与人文》。

译者简介:夏木青为香港专业数学科普译者。

本文翻译并整理自丘成桐推广《大宇之形》之各场英文演讲稿,刊登于《数理人文》杂志第2期(2014/6/15),欢迎读者朋友分享、评论和反馈建议。媒体或机构如需转载,请联系波士顿国际出版社或《数理人文》。

重点摘要

丘成桐因证明卡拉比猜想获得菲尔兹奖。由此确立的卡拉比-丘空间,在爱因斯坦的广义相对论里,相当于竟然存在重力非零的真空宇宙!

弦论是统一四种作用力最成熟的物理理论,它断言宇宙是十维的时空,除了日常的四维时空,另外卷缩的六维微小空间正是卡拉比-丘空间。

弦论高度整合物理和数学的深刻洞识,反过来促进了数学的新进展,镜对称预言了数学家无法想像的公式,震惊数学界。

今天要讲的,是数学和物理如何互动互利,这种关系在卡拉比-丘空间(Calabi-Yau space)和弦论的研究中尤为突出。这个题目非出偶然,它正是我和纳迪斯(Steve Nadis)的新书《大宇之形》的主旨。书中描述了这些空间背后的故事,个人的经历和几何的历史。

我写这本书,是希望读者透过它,了解数学家是如何看这世界的。数学并非一门不食人间烟火的抽象学问,相反地,它是我们认识物理世界不可或缺的工具。现在,就让我们沿着时间,或更确切地,沿着时空从头说起。

站在巨人的肩上——黎曼几何学

1969 年,我到了美国加州大学柏克莱分校念研究所。在那里我了解到,19 世纪几何学在高斯和黎曼的手上经历了一场翻天覆地的变化。黎曼的创见,颠覆了前人对空间的看法,给数学开辟了崭新的途径。

几何的对象,从此不再局限于平坦而线性的欧几里得空间内的物体。黎曼引进了更抽象的、具有任何维数的空间。在这些空间了,距离和曲率都具意义。此外,在它们上面还可以建立一套适用的微积分,作为研究与分析的工具。

大约五十年后,爱因斯坦发觉包含弯曲空间的这种几何学,刚好可用来统一牛顿的重力理论和狭义相对论,沿着新路迈进,他终于完成了著名的广义相对论。在研究所的第一年,我念了黎曼几何学。它与我在香港时学的古典几何不一样,过去我们只会讨论在线性空间里的曲线和曲面。在柏克莱,我修了史帕尼尔(Edwin Spanier)的代数拓朴、劳森(Blaine Lawson)的黎曼几何、莫瑞(Charles Morrey)的偏微分方程。此外,我还旁听了包括广义相对论在内的几门课,我如饥似渴地尽力去吸收知识。

当时柏克莱数学系大约有 500 名研究生,地狭人众,大家都没有研究室。课余的时间我都呆在数学图书馆,它简直成了我的辨公室。我孜孜不倦地找寻有兴趣的材料来看。圣诞节到了,别人都回去和家人团聚。我却在读《微分几何期刊》(Journal of Differential Geometry)上米尔诺(John Milnor)的一篇论文 , 它阐述了空间里曲率与基本群(fundamental group)的关系。我既惊且喜,因为它用到了我刚刚学过的东西。

米尔诺的文笔是如此流畅,我通读此文毫不费力。他文中提及普莱斯曼(Alexandre Preissman)的另一论文,我也极感兴趣。从这些文章中可以见到,负曲率空间的基本群受到曲率强烈的约束,必须具备某些特定的性质。

基本群是拓朴上的概念,基本上考虑的是从定点出发的所有回圈,并将可互相形变的回圈视为等价。普莱斯曼定理说,负曲率流形的基本群中,任两个可交换的元素,皆能写成某元素的自乘。这个结果很引人入胜,我试着推广普莱斯曼的结果,想看看如果空间曲率非正,结果又是如何?这是我平生第一次将空间的曲率(精确的几何描述)和比较粗糙、只留意形态特征的数学理论(称为拓朴学)联系起来。

图中每一列的形体,在拓朴学中都被视为相同,虽然几何性质显然不同。第一列是 2 维的球面;第二列是 2 维的环面。

虽然,拓朴也是一种研究空间的学问,但它不涉及距离。从这角度来看,拓朴所描绘的空间并没有几何所描绘的那样精细。几何要量度两点间的距离,对空间的属性要知道更多。这些属性可以由每一点的曲率表达出来,这便是几何了。

举例而言,甜甜圈和咖啡杯具有截然不同的几何,但它们的拓朴却无二样。同样,球面和椭球面的几何迥异但拓朴相同。作为拓朴空间,球面的基本群是无聊的,在它上面的任何闭曲线,都可以透过连续的变动而缩成一点。但环面(torus)则否,在它上面可以找到某些闭曲线,无论如何连续地变动都不会缩成一点。由此可见,球面和环面具有不同的拓朴。

球面上所有的回圈都可以缩到一个点,但环面上有些回圈,却没有这样的性质。这表示球面和环面的拓朴不一样。

普莱斯曼定理讨论了几何(曲率)如何影响拓朴(基本群),我做了点推广。在影印这些札记时,一位数学物理的博士后费雪(Arthur Fisher)嚷着要知道我干了什么。他看了那些札记后,说任何把曲率与拓朴扯上关系的结果,都会在物理学中用上。这句话在我心中留下烙印,至今不忘。

弯曲就是重力——广义相对论

狭义相对论告诉我们,时间和空间浑为一体,形成时空,不可分割。爱因斯坦进一步探究重力的本质,他的友人格罗斯曼(Marcel Grossmann)是数学家,爱氏透过他认识到黎曼和黎奇(Ricci)的工作。黎曼引进了抽象空间的概念,并且讨论了其上的距离和曲率。爱因斯坦利用这种空间,作为他研究重力的舞台。

爱因斯坦也引用了黎奇的工作,以他创造的曲率来描述物质在时空的分布。黎奇曲率乃是曲率张量的迹(trace),是曲率的某种平均值。它满足的毕安奇恒等式(Bianchi identity),奇妙地可以看成一条守恒律。爱因斯坦利用了这条守恒律来把重力几何化,从此我们不再视重力为物体之间的吸引力。新的观点是物体的存在使空间产生了曲率,重力应当看作是这种曲率的表现。

对历史有兴趣的读者,爱因斯坦的自家说辞更具说服力。他说:

这套理论指出重力场由物质的分布决定,并随之而演化,正如黎曼所猜测的那样,空间并不是绝对的,它的结构与物理不能分割。我们宇宙的几何绝不像欧氏几何那样孤立自足。

当然,爱因斯坦建立这个理论的过程绝非坦途。一开始,他想将重力理论和狭义相对论结合却遭遇失败。后来,他意识到这是非线性理论,并以重力定律在所有坐标系皆相同的等效原理(equivalence principle)作为指导原则。1912 年,他领略到必须以带劳仑兹符征(Lorentzian signature)的黎曼度量来作为重力势。另外,它还必须解决两个问题,首先是如何将狭义相对论的场方程转换到有黎曼度量的情况,然后还需要厘清决定黎曼度量的法则。1912 年到 1914 年之间,他和格罗斯曼合作,发现第一个问题要使用黎曼几何上的黎奇与李维奇威塔(LeviCivita)所发展的微分计算法,第二个问题的解答,则要应用黎曼建立的二阶微分不变量。

球面上的“直线” 就是大圆,经线都是大圆,但纬线除了赤道之外都不是大圆。想像有两个人如图从赤道开始往北方走,明明是“平行”开始的,却不自觉愈走愈近,好像有力在牵引着彼此。究其原因在于球面的曲率是正的,不像平面的曲率等于零。这说明曲率为何可解释为力。

爱因斯坦一直奋斗到 1915 年才找到正确的数学形式,建立了广义相对论,并找到能测试这个理论的天文实验方法。大概在同时,知名数学家希尔伯特(David Hilbert)也独立找到场方程的正确形式,但他没能更近一步和实验结合。

讲到自己的成就时,爱因斯坦写道:

就学问本身而言,这些理论的推导是如此行云流水,一气呵成,聪明的人花点力气就能掌握它。然而,多年来的探索,苦心孤诣,时而得意,时而气馁,到事竟成,其中甘苦,实在不足为外人道。

爱因斯坦研究重力的经历,固然令人神往,他的创获更是惊天动地。但是黎曼几何学在其中发挥的根本作用,也是昭昭然不可抹杀的。

半个多世纪后,我研习爱因斯坦方程组时,发现物质只能决定时空的部分曲率,为此心生困惑,自问能否找到一个真空,即没有物质的时空,但其曲率并不平凡,即其重力非零。当然,著名爱因斯坦方程的史瓦兹柴德(Schwarzschild)解具有这些性质。它描述的乃是非旋转的黑洞,这是个真空,但奇怪地,极端的重力产生了质量。然而这个解具有一个奇点(singularity),在那里所有物理的定律都不适用。

我要找的时空不似史瓦兹柴德解所描绘的那样是开放无垠的,反之,它是光滑不带奇点,并且是紧致(compact)而封闭的。即是说,有没有一个紧致而不含物质的空间,即封闭的真空宇宙,但其上的重力却不等于零?这问题在我心中挥之不去,我认为这种空间并不存在。如果能从数学上加以论证,这会是几何学上的一条美妙的定理。

柳暗花明又一村——卡拉比猜想

从上世纪 70 年代开始,我便在考虑这个问题。当时,我并不知道几何学家卡拉比(Eugenio Calabi)早已提出差不多同样的问题。他的提问透过颇为复杂的数学语言来表述,其中牵涉及凯勒流形(Kähler manifold)、黎奇曲率、陈氏类(Chern class)等等,看起来跟物理沾不上边。但事实上,卡拉比抽象的猜想也可以翻过来,变为广义相对论里的一个问题。

卡拉比和丘成桐摄于哈佛科学中心。

新的内容乃是要求要找的时空具有某种内在的对称性,这种对称物理学家称之为超对称(supersymmetry,用数学语言来说,在这个情况指的就是凯勒流形)。于是上述的问题便变成这样:能否找到一个紧致而不带物质的超对称空间,其中的曲率非零(即具有重力)?

卡拉比猜想不仅指出封闭而具重力的真空的存在性,而且还给出系统地大量构造这类空间的途径,大家都认为世间那有这样便宜的东西可捡。可是,纵然不乏怀疑卡拉比猜想的理由,但没人能够反证它。我与其他人一起试图证明卡拉比猜想所描述的空间并不存在,花了差不多三年。

1973 年我出席了在斯坦福大学举行的国际几何会议。这会议是由奥瑟曼(Robert Osserman)和陈省身老师组织的。也许是由于我与两人的关系,我有幸作出两次演讲。在会议期间,我告诉了一些相识的朋友,说已经找到了卡拉比猜想的反例。消息一下子传开了,徇众要求,当天晚上另作报告。那晚 30 多位几何工作者聚集在数学大楼的三楼,其中包括卡拉比、陈师和其他知名学者。我把如何构造反例说了一遍,大家似乎都非常满意。

陈省身和丘成桐。1992 年摄于台湾中央研究院。

卡拉比还为我的构造给出一个解释。大会闭幕时,陈师说我这个反例或可视为整个大会最好的成果,我听后既感意外,又兴奋不已。

可是,真理总是现实的。两个月后我收到卡拉比的信,希望我厘清反例中一些他搞不清楚的细节。看见他的信,我马上就知道我犯了错。接着的两个礼拜,我不眠不休,希望重新构造反例,身心差不多要垮掉。每次以为找到一个反例,瞬即有微妙的理由把它打掉。

经过多次失败后,我转而相信这猜想是对的。于是我便改变了方向,把全副精力放在猜想的证明上。花了几年工夫,终于在 1976 年证明了这个重要的猜想。好消息是,证明卡拉比猜想,也让我之前构造的许多“反例”变成重要的定理。

另外,在斯坦福那个会议上,物理学家葛洛克(Robert Geroch)在报告中谈到广义相对论中的一个重要课题——正质量猜想(positive mass conjecture)。这猜想指出,在任何封闭的物理系统中,总质量(能量)必须是正数。我和孙理察(Richard Schoen)埋头苦干,利用了最小曲面(minimal surface),证明了正质量猜想。

这段日子的工作把我引到广义相对论,我们证明了几条有关黑洞的定理。与相对论学者交流的愉快经验,使我更能开放怀抱与物理学家合作。几年之后,更参与了弦论的发展。

在证明卡拉比猜想时,我引进了一个方案,用以寻找满足卡拉比方程的空间,这些空间现在通称为卡拉比-丘空间。我深深地感到,我无心插柳,已经进入了一界数学高地。它必定与物理有关,并能揭开自然界深深埋藏的隐祕。然而,我并不知道这些想法在那里会大派用场,事实上,当时我懂得的物理也不多。

抚弦轻拨十维琴——弦论

1984 年,我接到物理学家赫罗维兹(Gary Horowitz)和史聪闵格(Andy Strominger)的电话。他们兴冲冲的谈到有关宇宙真空状态的一个模型,这模型是建基于一套叫弦论的崭新理论。

弦论的基本假设是,所有最基本的粒子都是由不断振动的弦线所组成的,这些弦线非常非常细小。某些弦论要跟量子力学相容不排斥,时空必须容许某种超对称性,同时时空还必须是十维的。

我在解决卡拉比猜想时证明存在的空间,得到赫罗维兹和史聪闵格的喜爱。他们相信这些空间会在弦论中担当重要的角色,原因是它们具有弦论所需的那种超对称性。他们希望知道这种看法对不对,我告诉他们,那是对的,他们听到后十分高兴。

不久,威腾(Edward Witten)打电话给我,我们是上一年在普林斯顿相识的。他认为就像当年量子力学刚刚面世那样,理论物理学最激动人心的时刻来临了。他说每一位对早期量子力学有贡献的人,都在物理学史上留名。爱因斯坦在他的后半生花了三十年致力于统一理论,但至死也未竟全功。早期弦学家如葛林(Michael Green)和史瓦兹(John Schwarz)等人的重要发现,有可能终究把所有自然力统一起来。

六维卡拉比-丘空间的二维“切片”。印第安那大学 Andrew J. Hanson 提供。

当时威腾正与坎德拉斯(Philip Candelas)、赫罗维兹和史聪闵格一起,希望搞清楚弦论中那多出来的六维空间的几何形状。他们认为这六维卷缩成极小的空间,并称此空间为卡拉比-丘空间,因为它源于卡拉比的猜想,并由我证明其存在。

弦论认为时空的总维数为十。我们熟悉的空间是三维,加上时间,那便是爱因斯坦理论中的四维时空。此外的六维属于卡拉比-丘空间,它独立的暗藏于四维时空的每一点里。我们看不见它,但弦论说它是存在的。

这个添了六个维度的空间够神奇了,但弦论并不止于此,它进一步指出卡拉比-丘空间的几何,决定了这个宇宙的性质和物理定律。哪种粒子能够存在,质量是多少,它们如何相互作用,甚至自然界的一些常数,都取决于卡拉比-丘空间或本书所谓“内空间”的形状。

理论物理学家利用狄拉克算子(Dirac operator)来研究粒子的属性。透过分析这个算子的谱(spectrum),可以估计能看到粒子的种类。十个维数的时空可以想成是四维时空和六维卡拉比-丘空间的乘积。因此,当我们运用分离变数法求解算子谱时,它肯定会受卡拉比-丘空间所左右。卡拉比-丘空间的直径非常小,因此非零谱所对应的粒子质量变得异常大。这类粒子很难观测到,因为它们只会在极度高能量的状态下才会出现。

另一方面,具有零谱的粒子是可能观测到的,它们取决于卡拉比-丘空间的拓朴。由此可见,这细小的六维空间,其拓朴在物理中是如何举足轻重。爱因斯坦过去指出,重力不过是时空几何的反映。弦学家更进一步,大胆地说这个宇宙的规律,都可以由卡拉比-丘空间的几何推演出来。这个六维空间究竟具有怎样的形状,显然就很重要了。弦学家正就此问题废寝忘餐,竭尽心力地研究。

威腾很想多知道一点卡拉比-丘空间。他从普林斯顿飞来圣地亚哥,与我讨论如何构造这些空间。他还希望知道究竟有多少个卡拉比-丘空间可供物理学家拣选。原先,他们认为只有少数几个拓朴类可作考虑,是以决定宇宙“内空间”的任务不难完成。可是,我们不久便发现,卡拉比-丘空间比原来估计的来得多。1980 年初,我想它只有数万个,然而,其后这数目不断增加,迄今未止。于是,决定内空间的任务一下子变得无比困难,假如稍后发现有无数卡拉比-丘空间的话,就更遥不可及了。当然,后者是真是假还有待验证,我一直相信,任何维度卡拉比-丘空间的拓朴类型都是有限的。

把四维的时空简化成无穷延伸的直线,虽然数学的直线没有厚度,但弦论说如果用威力强大的放大镜来看时空,就会发现它其实有一个隐微的厚度,任意切开,截面都是六维的卡拉比-丘空间。

于无声处听惊雷——镜对称

卡拉比-丘空间的热潮,始于 1984 年,当时的物理学家,开始了解到这些复空间或会用于新兴的理论上。热情持续了几年,便开始减退了。可是到了上世纪 80 年代末期,格林恩(Brian Greene)、普列瑟(Ronen Plesser)、坎德拉斯等人开始研究镜对称(mirror symmetry)时,卡拉比-丘空间又重新成为人们的焦点。

镜对称乃是两个具有不同拓朴的卡拉比-丘空间,看起来没有什么共通点,但却拥有相同的物理定律。具有这样关系的两个卡拉比-丘空间称为“镜伴”(mirror partner)。

1995 年,史聪闵格、札斯洛(Eric Zaslow)和我提出一个猜想,对卡拉比-丘空间的子结构提供洞识,为镜对称给出解释。根据这个 SYZ 猜想的理论,六维卡拉比-丘空间本质上可以分成两个三维空间,其中之一是三维环面。如果模仿把半径 r 变成 1/r 的操作,把这些三维环面“翻转”,并与另一个三维空间结合起来,就会得到原卡拉比-丘空间的镜伴。这个猜想提供了镜对称的几何图象,尽管目前只在一些特殊情况下被证明成立。

数学家把物理学家发现的镜关系搬过来,成为数学上强而有力的工具。在某个卡拉比-丘空间上要解决的难题,可以放到它的镜伴上去考虑,这种做法往往奏效。例如有一个求解曲线数目的问题,悬空了差不多一个世纪,就是这样破解的。它使枚举几何学(enumerative geometry)这一数学分支,重新焕发了青春。这些进展令数学家对物理学家及弦论刮目相看。

镜对称是对偶性的一个重要例子。它就像一面窗,让我们窥见卡拉比-丘空间的隐祕。利用它,我们确定了在五次三维形(一种卡拉比-丘空间)上给定阶数的有理曲线的总数,这是一个非常困难的问题。

这类问题称为舒伯特问题。它源于 19 世纪,德国数学家舒伯特(Hermann Schubert)首先证明,在五次三维形上共有 2,875 条一阶有理曲线。到了 1986 年,卡兹(Sheldon Katz)证明了有 609,250 条二阶曲线。1989 年前后,两位挪威数学家艾林斯路得(Geir Ellingsrud)和司聪默(Stein Strømme)利用代数几何的技巧,一下子找到了 2,682,549,425 条三阶曲线。

可是另一方面,以坎德拉斯为首的一组物理学家,却利用弦论找到 317,206,375 条三阶曲线。他们在寻找的过程中,用了一条并非由数学推导出来却适用于任意阶数曲线的公式。这公式的真确与否,还有待数学家验证。

1990 年 1 月,在辛格(Isadore Singer)的敦促下,我组织了弦学家和数学家首次的主要会议。大会在柏克莱的数理科学研究院(MSRI)举行。会议上拥艾林斯路得-司聪默结果的人和拥坎德拉斯团队的人分成两派,壁垒分明,各不相让。这局面维持了几个月,直到数学家在他们写的程式中发现错误,经修正后,结果竟与物理学家找到的数目完全吻合。经此一役,数学家对弦学家深刻的洞察力,不由得肃然起敬。

物理学家发现两个卡拉比-丘空间,虽然拓朴很不同,却可能对应到同一物理理论。这个性质称为镜对称,彼此对称的双方称为镜伴。

这一幕还说明了镜对称自有其深厚的数学基础。人们花了好几年,到了 1990 年代中后期,镜对称的严格数学证明,包括坎德拉斯等人的公式,才由吉文塔(Alexander Givental)以及连文豪-刘克锋-丘成桐各自独立完成。

不知有吾身 此乐最为甚

话说回来,我们必须紧记,弦“论”毕竟是一套理论而已,它还未给实验所验证。事实上,有关的实验还没有设计出来。弦论是否真的与原来设想的那样描述自然,还是言之过早。

欧洲核子研究组织(CERN) 日内瓦实验室的大型强子对撞机,或许可以找到余维空间或者超对称粒子存在的线索。这些发现可以和弦论相容,但不足以证明其正确性。

如果要给弦论打分的话,从好的方面来说,弦论启发了某些极之精妙而有力的数学理论,从中获得的数学式子已经有了严格的证明,弦论的对错与否,都不能改变其真确性。弦论纵使还没有为实验所证实,它始终是现存的唯一能够统一各种自然力的完整理论,而且它非常漂亮。试图统一各种自然力的尝试,竟然导致不同数学领域的融合,这是从来没有想过的。

当然,现在要作总结还不是时候,过去两千年间,几何学屡经更替,最终形成今天的模样。而每次重要的转变,都基于人类对大自然的崭新了解,这应当归功于物理学的最新进展。我们或将亲眼看到 21 世纪的重要发展,即量子几何的面世,这门几何未来将把细小的量子物理和大范围的广义相对论结合起来。

抽象的数学为何能够揭露大自然如许讯息,实在不可思议,令人惊叹不已,《大宇之形》一书的主旨乃在于此。不仅如此,我们还希望透过本书,使读者知道数学家是如何进行研究的。他们不必是奇奇怪怪的人,就像在电影《心灵捕手》(Good Will Hunting)中的清洁工般,一面在打扫地板,另一面却破解了悬空百年的数学难题。杰出的数学家也不必如另一部电影和小说《美丽心灵》(A Beautiful Mind)描述的那样,是个精神异常、行为古怪的人。

数学家和做实验的学者同样研究自然,但他们采用的观点不同,前者更为抽象。然而,无论数学家或物理学家,他们的工作都以大自然的真和美为依归。数学和物理互动时迸发的火花,重要的想法如何相互渗透,伟大的新学说如何诞生,如此种种,我们都在书中娓娓道来。

就弦论而言,我们看到几何和物理如何走在一起,催生了美妙的数学与精深的物理。这些数学是如此的美妙,影响了不同的领域,使人们相信它在物理中必有用武之地。可以肯定的是,故事还会继续下去。本人能在其中担当一角色,与有荣焉。今后并将倾尽心血,继续努力。

延伸阅读

1. Shing-Tung Yau and Steve Nadis, String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions, Notice 58(2011) no. 8, AMS。纳迪斯将丘成桐演讲稿扩充为文。

2. 丘成桐、纳迪斯,《大宇之形》湖南科学技术出版社,(2012)。

3. Shing-Tung Yau and Steve Nadis, String Theory and the Universe's Hidden Dimensions, Youtube 网站。丘成桐与纳迪斯在哈佛出版社的新书发表会录影,用更轻松的方式与听众交流,介绍撰写本书的原因、过程、内容与困难。

http://www.youtube.com/watch?v=YYHSraW2YBY

--THE END--

【头条推荐】

【视频推荐】

卡尔曼滤波算法与应用和MATLAB程序详解视频实时技术信号处理

主要内容简介: 卡尔曼滤波数学模型及MATLAB程序,卡尔曼滤波所需数学知识, 标准卡尔曼滤波(KF)处理线性离散随机系统, 扩展卡尔曼滤波(EKF)处理非线性微分随机系统, 无迹卡尔曼滤波(UKF)处理非线性离散随机系统, 交互多模型(IMM)滤波处理出现机动转弯的运动物体跟踪等。

遗传算法(GA)约束条件多目标全局优化问题与MATLAB程序工具箱视频

遗传算法的影响力及其应用领域简介、遗传算法与数学原理及其应用概论、遗传算法程序包安装调试及程序分析与求解函数全局最优解、GA工具箱操作及求解带有约束条件与多目标优化问题、利用遗传算法程序求解目标分配优化问题及算子程序解读等。

转发分享,让更多人受益

并可获取以上推荐视频9折券返回搜狐,查看更多

责任编辑:

声明:该文观点仅代表作者本人,搜狐号系信息发布平台,搜狐仅提供信息存储空间服务。
阅读 ()
大家都在看
推荐阅读
免费获取
今日搜狐热点
今日推荐