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本公众号于2018年3月3日推送过一篇文章叫《美妙的欧拉示性数》，是探讨欧拉示性数与闭曲面的拓扑分类的。欧拉示性数等于2时就是所谓的欧拉定理或欧拉公式。文章推送后，有位叫东蓠耘竹的朋友留言说，1997年高考化学压轴题就用到了欧拉公式。留言如下：
我当时没有见到过那个题目，并且没有看清留言中除C60外还提到了C70（我眼睛不太好，相近的内容很容易混淆），我以为只涉及C60，于是在留言中简单回复，说明了一下C60的数学结构。这几天，不知出于什么原因，我找来了这道高考题，题目涉及欧拉定理。最后一问要求考生根据计算推出C70中有多少个五边形和六边形。原题目如下：
（上面考题来自网络，特此表示感谢！）
今天在这里，我就来回答其中的第（4）问，用多面体的知识计算出C70分子中含有多少个五边形和多少个六边形。
因为顶点数为70（C70中70的意思为顶点数），而每个顶点都连接着三条棱，又因为每条棱与两个顶点相连接，棱数将被重复计算一次，必须再除以2，所以，可以最终计算出棱数为
刚才是从顶点和棱的关系计算出棱的数量105。还可以从面与棱的关系来考虑C70的棱数。设五边形面的个数为x，六边形面的个数为y。因为一个五边形有5条边（棱），一个六边形有6条边（棱），并且一条棱被两个面（五边形与六边形，或两个六边形）共用，所以可以得到用未知数x和y表示的棱数表达式（下式等号左边）；又因为棱数我们前面已经计算出来了，为105，所以最终得到方程式：
两个未知数x和y，一个方程，还不能解出x和y，还需要另外一个方程。题目中说C70与C60一样，顶点数、面数和棱(边)数遵循欧拉定理，所以，我们要应用这个定理再建立一个方程。这里所说的欧拉定理就是指由欧拉发现的诸多以欧拉命名的公式或定理中的一个，即”简单多面体的欧拉示性数等于2“，用公式表示就是：
其中V表示顶点数（来自英文Vertical，顶点的意思）；E表示棱数（来自英文Edge，边界、边缘或棱的意思）；F表示面数（来自英文Face，表面、脸面的意思）。因为C70也与C60一样，只包含五边形和六边形这两种多边形，所以，F=x+y。于是，将V=70，E=105，F=x+y代入欧拉公式中，得到
化简得
（上式说明了共有37个面）解方程组：
得
即C70有12个五边形和25个六边形。下面的C70的图片，来自百度，特此表示感谢！
从图上看，好象是把C60分成一样的两部分后在中间增加一圈5个六边形。我来具体分析一下吧。我要从C60出发，但为了形象，我改从与之同构的现代足球出发。如下图所示。
沿粉色折线和黄色折线之间把足球剪开（或拆线），粉色折线和黄色折线分别是两个“半足球”的剪切痕迹，这两条折线都是由原足球上的20条棱组成（注意，其实是封闭折线）。于是，原来足球共90条棱，剪开后，相当于增加了20条棱，变为110条棱。把分开的两个“半足球”以地轴为旋转轴稍微拧个角度，然后让这两个“半足球”外凸的六边形（比如P和Q）的边（比如图中的A'B'与AB）对接并缝合。这种对接的棱共有五组，于是总的棱数减少5条，成为105条。注意，这个105，前面出现过，是在C70中，即C70的棱数。但是，这样对接后，两个”半足球“之间产生了5个六边形的”空洞“。我们就用5块六边形的白色皮革补充上。所得就是一个不太圆的”长足球“（为何上面C70的图片有些长，原因在此）。补充后不增加棱数，对吧 ！所以，C70的棱数就是105，与我们前面的计算一致。另外，原C60的六边形面数为20个，增加5个后，所以C70的六边形面数为25个，与我们前面的计算一样（y=25）。总面数由C60的32个面增加到C70的37个面（正是前面的方程x+y=37）。还需要看一下顶点数的情况是不是也吻合。按折线剪开足球，剪刀经过的顶点共20个，它们全都一分为二，即总共增加了20个顶点。拧过一个角度并对接后，5组对接棱涉及的10组顶点都合二为一，于是顶点数又减少10个，所以，20个减去10个，实际上顶点总数只增加了10个，所以，正好是从C60变到C70。完全正确。数学是不是很厉害！
在此特别感谢留言的“东篱耘竹“朋友，使我得以从数学角度深入研究化学中这两个新发现的分子结构（它们是被统称为富勒烯中的两种，其中的C60与足球同构所以也就被称作足球烯）。
下面补充介绍C60的情况，模型图片如下（来自百度，特此表示感谢！）：
C60有60个顶点，90条棱和32个面。下面我再提供一张黑白足球的图片，请比较两者，它们是同构的。
我以前曾有文章介绍过足球的数学结构。它是13种阿基米德体中的一种——截角二十面体。截角的意思大概就是指把一个正多面体的角（其实是多面角）切掉，但同时也一定会切掉棱的一部分，一定要使切掉的长度小于棱长的一半，这里是切掉三分之一。若正好切到棱的一半处，则名称中就叫“截半”了，是另一种阿基米德体了——截半二十面体。我们来计算一下V、E和F。正二十面体有12个顶点，切掉后，每个顶点消失的同时却增加了5个顶点，所以12×5=60，即C60中的60。下图是大致的演变过程。
再来说棱的变化。切掉的每个顶点由一个正五边形面代替，每个正五边形有5条边，所以，一共新增加12×5=60条棱。原来的正二十面体有30条棱（从上图左图很容易数出来）仍在，所以，C60就一共有60+30=90条棱。最后说面数的变化，原正二十面体的20个面还在（虽然形状由正三角形变为正六边形），又切出12个正五边形面，所以一共是20+12=32个面。即C60有32个面。
回到说C60。C60所对应的数学结构有90条棱，但它们不完全相同。有30条棱是六边形与六边形的交界，另外60条棱是五边形与六边形的交界（五边形与五边形是不挨着的，两个五边形之间隔着一座”桥“，它是两个六边形的交界）。这道考题中已说C60有30个双键，要求考生通过计算得出单键的个数。我从网上找到的评分标准说：从90个键（即棱）中减去30个双键就得到单键的个数60，给1分；而若是回答“2×30(双键数)=60”，则给2分。我不太懂化学，不知这两个类型的棱是不是就是单键双键的区别，或者进一步说，两个六边形之间的公共棱（正好也是30条）是不是就是双键。我想应该是的，因为首先从数量上看是对的。其次，从C60对应的数学结构上来看，每个顶点连接着3条棱，其中两条棱是五边形与六边形的交界，一条棱是两个六边形的交界。也就是说，这两种不同类型的棱的比例是1比2，即两倍的关系。参考答案中说答出”2×30(双键数)=60“给2分（正好也是第一种回答所得分的”2“倍），我想正是反映了这种2倍的关系，即抓住了问题的本质。但还是需要懂化学的朋友批评指正。返回搜狐，查看更多