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引 言
我们都有乘坐高铁的经验：我们上了车，放好行里，坐下来。车窗宽敞明亮，车窗外并列停放着另一列火车。你正在与朋友聊天，突然觉得窗外的列车动了起来。一两秒后发现原来是自己的列车启动了。列车质量好，启动悄无声息，这就一下子把我们带入了相对运动与参照系的问题。刚才误以为是窗外列车运动，就是因为我们可能一直看着窗外，并且以自己所处的准备启动但还没有动的车厢为参照系，而窗外列车比较近，你看不到地面或天空，所以你觉得窗外的列车在动。几分钟后，你的列车开出一段距离了，这时可能天空出现了，大地也出现了。我们心里一向认为大地是不动的，大地是我们最最常用的参照系，这时我们完全明确了我们自己乘坐的列车在运动。这让我联想起了托勒密和哥白尼。约两千年前的托勒密发表了地心说，后来被哥白尼的日心说推翻。我在想，托勒密时代，人们很自然地认为大地是不动的，太阳月亮星星都围绕着地球运动，而星空的运动又是有周期性的，所以，托勒密认为地球是宇宙的中心也是有他的道理的，与我们刚才所说的乘车经验类似。后来科学发展，哥白尼日心说战胜了托勒密的地心说那是必然的。托勒密的其他天文学成就我不太了解，但他的数学成就在数学史上却取得了牢固的地位，因为他是三角学的创建者，托勒密的弦表是有记载的最早的三角函数表。今天我就简单讲一讲他对三角学的贡献。我们还是从以他的名字命名的托勒密定理谈起。
一、托勒密定理回顾
托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。
如下图所示，ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。
（8月20日文章有具体讲解，包括定理的证明。）
二、 弦长公式
在单位圆O中，圆上点A和B位于点C两侧，设AC弧所对弦长为a，BC弧所对弦长为b，则两弧之和AB弧所对弦长s为：
证明：如下图所示。过弧AC和BC（或两弦a和b）的公共点C作直径CD（因为圆是单位圆，所以直径的长度为2）。可以得到四边形ACBD。ACBD当然是圆内接四边形，所以，根据托勒密定理，有下式成立：
两边同时除以2，即得下面公式（公式1）：
我们还可以类似地（也需要画个图）得到两弧之差所对弦长的公式（公式2）：
我们甚至可以得到圆弧的一半所对弦长的公式（公式3）：
（公式3可以从公式1得来，只需在公式1中让a等于b，然后解出a，这当中要解一个一元二次方程，但很简单。）
三、三角公式
上面有关弦长的三个公式分别与三个三角公式即“两角和正弦公式”、“两角差正弦公式”、“半角正弦公式”等价，下面我们看一看如何从弦长公式推导出相应的三角公式。如下图所示：
设弧AC（或弦a）所对圆周角为α，弧BC（或弦b）所对圆周角为β，则弦AB所对圆周角为α+β。根据正弦定理，三角形的边与对角的正弦的比值等于常数（外接圆直径）；或者说，三角形的边等于它的对角的正弦值与三角形外接圆直径的乘积。所以，如果我们把圆内接四边形ACBD的四条边和一条对角线（另一条对角线为直径）都用直径和相关角的正弦、余弦表示，那么，我们便可以得到两角和的正弦公式。具体来说，把下面的表达式
代入上面公式中，得
于是，我们便得到两角和的正弦公式：
两角差的正弦公式也可以类似得到。下面详细推导一下半角的正弦公式。我们从下面的公式（即上面的公式3）出发：
如下图所示：
设弦s所对圆周角为α（希文阿尔法，注意与英文a的区别。α<90°），则弧AC和BC所对圆周角皆为α/2。所以有
代入有关a的公式3中，有
于是，我们就得到了半角的正弦公式。（上式角的范围有限制，所以，根号前的正负号取正号。）
四、弦表（正弦三角函数表）
我们知道，单位圆中，60°的圆心角所对弦长等于半径，即等于1，而36°的圆心角所对弦长就是那个著名的黄金比，即0.6180（万分位上的“0”也写出来表明这个数是个近似数；这个所谓的黄金比可以通过相似三角形相似的知识再解一个一元二次方程而计算出来）。所以，60°圆心角与36°圆心角的差即24°圆心角所对弦长就可以通过上面的两弧之差所对弦长的公式2计算出来，再由半弧所对弦长公式3计算出12°、6°、3°、90′ 、45′ 所对弦的长度值。再利用其他一些数学关系式，可以得出1°、30′ 的圆心角所对弦的长度。最终，我们就得到了0°到180°范围内30′ 整数倍的所有圆心角所对弦长的数值表，称作“弦表”。又因为一个圆心角所对弦之长度的一半正好就是这个圆心角的一半的正弦值（如下图所示），所以，这个弦表中每一个值的二分之一，就对应于0°到90°范围内15′ 的正整数倍的角度的正弦值。所以，弦表与正弦三角函数表本质上是一致的，两组数据 一 一 对应的。
托勒密那时还不会使用十进制小数，他是把半径的60分之1作为长度单位，从而他那时的弦表的写法可能比较复杂。但他的做法的思路就是我们上面用弦长公式逐步计算不同角度所对弦长的过程。我们用个具体圆心角来说明问题。他那时是知道60°圆心角所对的弦长等于半径，所以，这个弦长就是60个长度单位。那么它的一半就是30个长度单位。所以，在上图（示意）的直角三角形ABO中，角AOB是60°的一半即30°，所以，sin30°=AB/AO=30/60=1/2。他那时也是会算36°角所对弦的长度的，只是没有我们现在的写法那法简单（0.6180)，他那时的这个弦长表示为37p4'55''（其中的p应该是写在上角的）。其中的37表示这个弦长首先包含了37个长度单位（但不够38个长度单位），再加上一个长度单位的60分之4，再加上一个长度单位的3600分之55。（六十进制，确实很麻烦的。）
本期所讲内容比较多，但都是很浅显的。因为从公众号这种大众传播媒介传播数学知识，不可能面面具到，所以，上文中还是有些东西应该写但没有写出来，比如两弧差所对弦长公式，那您自己试一试吧。写作本篇内容时，参考了很多数学史方面的著作，比如《数学史概论》（伊夫斯），《数学史教程》（李文林），特此对作者、译者、出版社表示衷心感谢！返回搜狐，查看更多