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为什么椭圆规能够画出椭圆
我们已经知道，圆上所有点向着垂直于某条直径的方向等比例压缩，将得到椭圆。用数学语言描述就是：有一个圆O，取其一条直径A1A2，在圆上任取一点M，过点M向直径A1A2作垂线，设垂足为N。在垂线MN上取一点P，便点P到直径A1A2的距离PN与MN的比值等于某一常数k（0<k<1)，那么，随着点M在圆周上运动，点P的运动轨迹就是一个椭圆。
（等比例压缩与把圆侧过来在平面上进行投影，结果是一样的。这个不难理解，因为圆所在平面与投影面的夹角不变，圆中线段在投影面上的投影与线段本身长度的比值为两平面夹角的余弦值。）
那么，椭圆规能画出椭圆，原理是什么？下面我来从数学上给予回答。
把椭圆规的工作原理用数学语言表述如下：如下图所示，有两条互相垂直的直线XX'和YY'，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上。点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值。那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹就是一个椭圆。
怎么证明上面的结论呢？
如下图所示，AB即为定长的线段（图中绿色），它的端点A位于XX'上，端点B位于YY'上；点P为AB上那个确定的点。过点P作YY'轴的平行线，过点O作AB的平行线。两线交于点Q。从而得到平行四边形OBPQ（图中阴影四边形所示）。不管AB怎么运动，这个四边形都是平行四边形，所以BP=OQ。
因为BP的长度确定，所以OQ的长度也确定。所以，点Q的轨迹是一个以O为圆心，以OQ为半径的圆。设点N为PQ与XX'轴的交点。显然有三角形APN相似于三角形QON。于是
PN : NQ = PA : OQ
由OQ=BP，代入上式，得
PN : NQ = PA : BP
这个比值是一个定值。
在圆上找到点Q关于直线XX'的对称点Q'。当然有N'Q=NQ。所以，上式变为：
PN : NQ'= PA : BP
也就是说，
PN : NQ'= 定值
于是，我们把问题转化为前面那个问题。从而点P的运动轨迹是一个椭圆。容易得出椭圆的长半轴就是圆的半径，等于定直线AB上点P到点B的距离。也就是椭圆标准方程中的半长轴a。类似地，PA的长度就是椭圆标准方程中的半短轴b。这个椭圆的标准方程是：
即
下面的动画给出了定线段AB在第一象限内运动的情况，得到四分之一个椭圆。然后由对称性就可以得出整个椭圆。
上面所说是针对点P位于AB内部。本文开始时的椭圆规的动画中，描出椭圆的点在AB的外部（AB延长线或BA的延长线上），这种情况我们也可以用上面的方法得到。其实，一个椭圆有两种方法画出。下面的动画给出了另一种画图过程。其中AB为定长线段，A和B分别位于XX'轴和YY'轴上。点P位于BA的延长线上。
最后，下面动画是对点P在AB内部情况下椭圆规画椭圆的全过程的软件模拟（与开头那个椭圆规动画不一样）。您可以照着我这个动画制作一个实物椭圆规。