2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学全国 I 卷
单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1. 已知集合M={x|-4＜x＜2}，N={x|-x-6＜0}，则M∩U=
A. {x|-4＜x＜3} B.
{x|-4＜x＜-2}
C.
{x|-2＜x＜2} D.
{x|2＜x＜3}
2. 设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A. B.
C.
D.
3. 已知a=，b=,c=,则
A. a＜b＜c B.
a＜c＜b
C.
c＜a＜b D.
b＜c＜a
4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ，著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A. 165 cm B.
175 cm
C.
185 cm D.
190 cm
5. 函数的图像大致为
A.
B.
C.
D.
6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的６个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是
A. B.
C.
D.
7. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
A. B.
C.
D.
8. 右图是求的程序框图，图中空白框中应填入
A. B.
C.
D.
9. 记为等差数列｛｝的前ｎ项和．已知，，则
A. B.
C.
D.
10.
A. B.
C.
D.
11. 关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间（，π）单调递增
③f(x)是在[-π，π]有4个零点
④f(x)的最大值是2
其中所有正确结论的编号是
A. ①②④ B.
②④
C.
①④ D.
①③
12. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点∠CEF=90°，则球O的体积为
A. 8B.
4C.
2D.
填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
13. 曲线y=3(x²+x)e^x在点(0,0)处的切线方程为。
14.
15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4:1获胜的概率是。
16. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若
，
，则C的离心率为 。
简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。设。
（1）求A；
（2）若，求sinC。
18. （12分）
如图，直四棱柱ABCD-的底面是菱形，= 4, ＝２,∠＝，E，M，N分别是，，的中点。
（１）证明：ＭＮ∥平面；
（２）求二面角的正弦值。
19. （12分）
已知抛物线的焦点为Ｆ，斜率为的直线 l与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，与ｘ轴的交点为Ｐ。
（１）若，求ｌ的方程；
（２）若，求。
20. （12分）
已知函数，为的导数。证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有２个零点。
21. （12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多４只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得１分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得１分，甲药得-１分：若都治愈或都未治愈则两种药均得０分。甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为Ｘ。
（1）求Ｘ的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予４分，表示“甲药的累计得分为ｉ时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，。假设，。
（i）证明：为等比数列；
（ii）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性。
22. ［选修4－4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。
（1）求和的直角坐标方程；
（2）求上的点到距离的最小值。
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1。证明：
（1）
（2） 。
2019年高考理科数学全国 I 卷参考答案
1. C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D
13. y=3x
14.
15. 0.18
16. 2
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学全国 I 卷
单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1. 设则
A. 2 B.
C.
D.
1
2.
A. B.
C.
D.
3. 已知a=，b=，c=，则
A. a＜b＜c B.
a＜c＜b
C.
c＜a＜b D.
b＜c＜a
4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ，著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A. 165cm B.
175cm
C.
185 cm D.
190 cm
5. 函数的图像大致为
A.
B.
C.
D.
6. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A. 8号学生 B.
200号学生
C.
616号学生 D.
815号学生
7. tan255°=
A. B.
C.
D.
8. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
A. B.
C.
D.
9. 右图是求的程序框图，图中空白框中应填入
A. B.
C.
D.
10. 双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A. 2sin40° B.
2cos40°
C.
D.
11. △ABC的内角A、B、C的边分别为a，b，c，已知asinA- bsinB =4csinC，cosA = -，则=（）
A. 6 B.
5 C.
4 D.
3
12.
A. B.
C.
D.
填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
13. 曲线y=3(x²+x)e²在点(0,0)处的切线方程为。
14.
15. 函数的最小值为________。
16. 已知，P为平面ABC外的一点，PC=2，点P到 两边AC、BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为__________。
简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面列联表：
（1）分别估算男、女顾客对该商城服务满意的概率？
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商城服务的评价有差异？
附：
18. (12分)
19. （12分）
20. （12分）
已知函数,为的导数。
（1）证明：在区间存在唯一零点；
（2）若时，，求的取值范围。
21. （12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，，过点A，B且与直线x+2=0相切。
（1）若A在直线上，求的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，为定值？并说明理由。
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L的极坐标方程为2cos+sin+11=0
（1）求C和L的直角坐标方程；
（2）求C上的点到L距离的最小值。
23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）
2019年高考文科数学全国 I 卷参考答案
1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.B
13. y=3x
14. 5/8
15. -x
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
2019年高考数学命题以全国教育大会精神为指引，认真贯彻“五育并举”教育方针，突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力以及综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。试题突出学科素养导向，全面覆盖基础知识，凸显综合性、应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，在考试评价中落实立德树人根本任务。
1
素养导向，落实“五育并举”教育方针
合理创设情境，体现教育功能。理科Ⅱ卷第（13）题以我国高铁列车的发展成果为背景、文科Ⅱ卷第（5）题以 “一带一路”知识测验为情境进行设计，引导学生关注现实社会和经济发展。理科Ⅱ卷第（4）题结合“嫦娥”四号实现人类历史首次月球背面软着陆的技术突破考查近似估算的能力，反映我国航天事业取得的成就。这些试题发挥了思想教育功能，体现了对德育的渗透和引导。
理科Ⅰ卷第（15）题、理科Ⅱ卷第（18）题分别引入了非常普及的乒乓球和篮球运动，以其中普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，要求考生应用数学方法分析和解决体育问题。文科Ⅰ卷第（6）题设置了学校对学生体质状况进行调查的情境，考查学生的抽样调查知识。这些试题在考查学生数学知识的同时，引导学生加强体育锻炼，体现了对学生的体育教育。
结合学科知识，展示数学之美。文、理科Ⅱ卷第（16）题融入了中国悠久的金石文化，赋以几何体真实背景，文、理科Ⅰ卷第（4）题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。
理论联系实际，引导劳动教育。文科Ⅰ卷第（17）题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡导高质量的劳动成果。文、理科Ⅲ卷第（16）题再现了学生到工厂劳动实践的场景，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动，体现了劳动教育的要求。
2
突出重点，灵活考查数学本质
2019年的数学试题贯彻落实高考评价体系学科化的具体要求，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和逻辑推理能力。
固本强基，夯实发展基础。试卷注重对高中基础内容的全面考查，集合、复数、常用逻辑用语、线性规划、平面向量、算法、二项式定理、排列组合等内容在选择题、填空题中得到有效考查。在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现全面性、基础性和综合性的考查要求。在解答题中重点考查函数、导数、三角函数、概率统计、数列、立体几何、直线与圆锥曲线等主干内容。
稳中有变，助力破解应试教育。2019年的数学试卷，在整体设计上保持平稳，包括考查内容的布局、题型的设计、难度和区分度的把控等。试题的排列顺序依然是由易到难，循序渐进。对主观题的布局进行动态调整，考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于破解僵化的应试教育。
3
情境真实，综合考查应用能力
2019年的数学试题注重考查数学应用素养，体现综合性和应用性的考查要求。试题设置的情境真实、贴近生活，同时具有深厚的文化底蕴，体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用。理科Ⅰ卷第（6）题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合题，体现了中国古代的哲学思想。理科Ⅲ卷第（3）题，以学生阅读“四大名著”的调查数据为背景设计，情境贴近实际，为考生所熟悉。文、理科Ⅲ卷第（17）题以离子在生物体内残留情况为背景设计，反映了数学知识和方法在其他学科的应用。这些情境来源于我国社会主义建设的不同领域，结合社会现实，贴近生活，反映了数学应用的广阔领域，体现了数学的应用价值，有利于在中学数学教育中激发学生学习数学的热情，提高对数学价值的认识，提升数学素养，对中学的素质教育有很好的导向和促进作用。
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