不破不立:难得一见的数学好书

原标题:不破不立:难得一见的数学好书

文 | 洪万生

《一个数学家的叹息》应该是我所见过的数学教育宣言中最激进的(radical)一篇了。作者保罗·洛克哈特是一位成功的专业数学家,2000 年,他毅然转入纽约市一所涵盖K-12 年级的中小学任教,身体力行他认为有意义的数学教学活动。本书即是他的现身说法,因此,他对于美国目前中小学数学教育的现实之沉重发出的真诚的叹息,似乎没有几个有识之士敢视而不见。

事实上,本书(分上、下两篇)所呈现的愿景,乃是中小学数学教育的一种乌托邦。通常我们面对乌托邦,似乎总是看看就好,大可不必认真。然而,我仔细阅读(英文原文和中文译文)之后,对于邀约写序,多少有些犹豫与挣扎。对照我自己的数学教学经验,我将如何推荐本书呢?我自己曾在台湾师大数学系任教将近四十年,主要授课如数学史都涉及未来与现职的中学教师之专业发展,而且也曾指导过几十位在职教师班的硕士生,所以,我对于(台湾)数学教育现实的兴革,当然也有相当清晰的理想与愿景。不过,经历过那么多的数学教育改革争议之后,我觉得务实地训练与提升教师数学素养,恐怕是最值得把握的一条可行进路。

话说回来,作者的愿景所引申出来的策略,也并非完全不可行!譬如说吧,在本书结束时,作者语重心长地鼓励老师“需要在数学实境中悠游。你的教学应该是从你自己在丛林中的体验很自然地涌出,而不是出自那些在紧闭窗户车厢中的假游客观点”。

因此,

“丢掉那些愚蠢的课程大纲和教科书吧!”

因为

“如果你没有兴趣探索你自己个人的想象宇宙,没有兴趣去发现和尝试了解你的发现,那么你干吗称自己为数学教师?”

《一个数学家的叹息》作者:保罗·洛可哈特

对许多数学教师来说,要是丢掉课程大纲与教科书,大概会有类似一起丢掉洗澡水与婴儿的常见的(conventional)焦虑感,尽管有一些教师平常教学时,根本不理会课程大纲与教科书内容,而只是使用自己或与同仁共同编辑的讲义。然而,不管你是否赞同洛克哈特的主张,也不管他的主张是否能够付诸实现,本书主张的观点是老师、家长与学生都不容错过的金玉良言,值得我们咀嚼再三。下面,我要稍加说明我大力推荐本书的三个理由。

本书上篇主题是“悲歌”,依序有《数学与文化》《学校里的数学》《数学课程》《中学几何:邪恶的工具》以及《“标准”数学课程》等五节。下篇主题是“鼓舞”,但不分节论述。上篇文字曾由齐斯·德福林(Keith Devlin) 安排,在MAA 在线(MAA Online) 每月专栏“德福林观点”全文披露(2008 年3 月),获得大大超乎预期的回响。在上篇一开始,作者洛克哈特利用虚构的音乐与绘画之学习梦境,说明相关语言或工具的吹毛求疵,让这些艺术课程之学习,变得既愚蠢又无趣,最终摧毁了孩子们对于创作模式那种天生的好奇心。或许上述梦魇并非真实,但是,“类比”到数学教育现场,却是千真万确。而洛克哈特的立论,是一般人容易忽略的数学知识活动特性:数学是一门艺术!至于它和音乐和绘画的差别,只在于我们的文化并不认同它是一门艺术。洛克哈特进一步指出:

事实上,没有什么像数学那样梦幻及富有诗意,那样激进、具破坏力和带有奇幻色彩。我们觉得天文学或物理学很震撼人心,在这一点上,数学完全一样(在天文学发现黑洞之前,数学家老早就有黑洞的构想了),而且数学比诗、美术或音乐容许更多的表现自由,后者高度依赖这个世界的物理性质。数学是最纯粹的艺术,同时也最容易受到误解。

这种主张呼应了英国数学家哈代(G. H. Hardy)之观点:数学家是理念模式(patterns of ideas) 的创造者。在他的《一个数学家的辩白》(A Mathematician’ Apology)中, 哈代借此宣扬他的柏拉图主义(Platonism)。不过, 洛克哈特却将柏拉图的理念(ideas)拉回到人类玩游戏的层次:“我纯粹就是在玩。这就是数学——想知道、游戏、用自己的想象力来娱乐自己。”事实上,在游戏的情境中,人们会基于天生的好奇而开始探索。而这无非是人类学习活动的最重要本质所在。反过来,如果数学学习只是要求学生死背公式,然后在“习题”中反复“套用”,那么,“兴奋之情、乐趣甚至创造的过程会有的痛苦与挫折,全都消磨殆尽了。再也没有困难了。问题在提出来时也同时被解答了——学生没事可做。”对于这种强调精准却无灵魂地操弄符号的文化及其价值观,洛克哈特利用简单例证戳破它的虚幻,这是我大力推荐本书的第一个理由。

在《学校里的数学》这一节中,洛克哈特指出教改迷思,在于它企图“要让数学变有趣”,以及“与孩子们的生活产生关联”。针对这两点,他的批判非常犀利:“你不需要让数学有趣——它本来就远超过你了解的有趣!而它的骄傲就在与我们的生活完全无关。这就是为什么它是如此有趣!”显然为了达到“有趣”与“关联”的目的,教科书的编写难免“牵强而做作”。譬如,为了帮助学生记忆圆面积和圆周公式,洛克哈特认为:与其发明一套圆周先生(Mr. C)和面积太太(Mrs. S)的故事,不如叙说阿基米德甚至刘徽有关圆周率的探索史实,说不定更能触动学生的好奇心灵。这种强调发生认识论(genetic epistemology)的历史关怀,也与他批判数学课程的缺乏历史感互相呼应。

洛克哈特对于数学课程的僵化之批判,还扩及它所联结的“阶梯迷思”,他认为这种一个主题接一个主题的进阶安排,除了淘汰“失败的”学生之外,根本没有(其他)目标可言。因此,学校里的数学教育所依循的,“是一套没有历史观点、没有主题连贯性的数学课程,支离破碎地收集了分类的主题和技巧,依解题程序的难易度凑合在一起”。相反地,“数学结构,不论是否具有实用性,都是在问题背景之内发明及发展出来的,然后从那个背景衍生出它们的意义”。

或许有人说,中学的几何课程可以满足此一智性需求,不过,洛克哈特却将它称为“邪恶的工具”。作者在《中学几何:邪恶的工具》这节中,指出数学证明的意义在于“说明,而且应该说明得清楚、巧妙且直截了当”,同时,只有当你想象的物件之行为违反了直觉,或者有矛盾出现时,严谨的证明才有其必要,而这当然也符合历史真实。基于此,他严厉批判“两栏式证明”(two-column proof)既沉闷又“没有灵魂”,学生只是被训练去模仿,而不是去想出论证!

在作者深刻批判学校数学、课程纲要以及几何证明之后,他还揭露了一个目前通行的“标准数学课程”之真相,这个戳破学校数学(school mathematics)神话的深刻反思,是我大力推荐本书的第二个理由。

在上篇解构性的“大破”之后,洛克哈特在本书下篇当中,为我们贡献了令人鼓舞的“大立”,这是我大力推荐本书的第三个理由。在本篇中,洛克哈特想象了一个数学实在(mathematical reality),其中“充满了我们为了娱乐自己而建构出来(或是偶然发现)的有趣又可爱的架构。我们观察它们、留意它们的模式、尝试做出简洁又令人信服的叙述,来解释它们的行为”。至于如何做数学?洛克哈特利用实例演示,启发我们“与模式游戏,注意观察事物,做出猜测,寻找正反例,被激发去发明和探索,做出论证并分析论证,然后提出新的问题”。此外,他还特别提醒:小孩子都知道学习和游戏是同一回事。可惜,成年人已然忘却。因此,他最后给读者的实用忠告是:玩游戏就对了!做数学不需要证照。数学实境是你的,往后的人生你都可以悠游其中。

总之,本书作者分享了他自己基于好奇,探索数学知识活动被忽略面向的深刻体会,其中他认为数学如同音乐、绘画及诗歌一样,也是一门艺术。同时,学习与游戏是同一回事。因此,在游戏的情境中,基于人类天生的好奇心及探索模式,才是学习数学的正道。这也部分解释了何以他那么重视数学史的殷鉴,因为数学都是从历史脉络(context)产生,并因而获得意义。

对于教师甚至家长来说,如果你觉得本书的主张太过激进,不妨参考作者的玩数学比喻,那么,你对数学学习一定会有全新的体会。根据宠物书籍的说明,离开幼儿阶段还喜欢游戏的物种,只有成年人和成犬而已。人类幼童利用游戏来学习包括数学在内的各种事物。如今,我们身为成年人,甚至有幸带领小孩子学习,为什么不可以继续玩下去呢?

*作者洪万生为台湾师大数学系退休教授

一个数学家的叹息:如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界

作者:[美]保罗·洛克哈特

出版社:上海社会科学院出版社 | 青豆书坊返回搜狐,查看更多

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