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问题：有任意两个不相交的圆，我们能否通过同一反演变换，把它们变换成同心圆？（ 下图为两圆相离的情况。）
一种解决办法是，如果我们能够找到某个圆，以它为反演圆进行反演变换，原来的两个圆在这个反演变换下确实能变换成两个同心圆，那么问题也就解决了。
那么就请您跟随我一起研究这个问题解决的全过程。
1.做出两圆的根轴。什么叫根轴？针对互相分离的两个圆来说， 根轴是指到两个圆的切线的长度相等的点的轨迹。那么如何作出这样的根轴？看似无从下手。是的，还需要先了解 点关于圆的幂的概念。（1）点对于圆的幂的概念不复杂。圆外一点对于这个圆的幂是指这点到这个圆的切线的长度的平方。（2）从这点向圆作任意一条割线，那么，根据 圆幂定理，割线与圆的两个交点到这点的距离的乘积等于这个点对于这个圆的幂（以下简称幂）。如下图所示（图中还给出了圆幂定理的证明过程）。
（3）有了幂的概念后，我们就有办法作出两圆的根轴了（本文中都是研究两圆分离的情况）。任意画一个圆，让它与已知的两个圆都相交即可。过这个圆与第一个已知圆的两个交点作直线，再过这个圆与第二个已知圆的两个交点作直线，两直线交于一点（我们只考虑可以相交的情况）。那么这点必定位于根轴上。类似上面的步骤，可以找到另一个也位于根轴上的点。两点连线就是根轴。根轴与两已知圆的连心线垂直。 （为何根轴是直线，且与连心线垂直，证明稍微有些复杂，这里就不给出了）。找根轴过程如下图所示。证明很简单，因为通过任意“过程圆”（即下图中所画的蓝色和红色圆），可以把 两个已知圆建立联系，这个联系就是幂——观察两条蓝色线段，它们的交点相对于蓝色圆的幂当然相等，而蓝色割线既是蓝色圆的割线，也是绿色圆的割线，所以，这个交点对蓝、绿圆的幂相等（等幂点）。
2. 有了根轴之后。在根轴上任取一点P。以点P为圆心，以幂（根轴上的点都是等幂点，所以就简称幂）的开方为半径作一个圆（简称圆P）。观看下面动画演示。这个圆必定与原来的两个已知圆都 正交（所谓两圆正交是指相交处的切线互相垂直，或者说，在这点处，一个圆的切线是另一个圆的半径，一个圆的半径是另一个圆的切线），这是因为幂的开方就是切线。在圆P上任取一点B，连接PB。过点B作圆P的切线，与O1、O2所在直线（以下简称水平轴）交于点O'。以点O'为圆心，以O'B为半径作圆。显然，这个圆与圆P是正交的。让点B在圆P上运动，则可以画出无穷多的圆，这些圆是圆心位于水平轴上且与圆P正交的所有圆。我们称这些圆为 共轴圆。如下面动画所演示。观察动画发现，有两个特殊的点，在这两点处，圆缩小为一个点。这两个点可以叫做 极限点。注意，这两个极限点很重要。这两个点是圆P与水平轴的交点。共轴圆半径无穷大时就是根轴。（动画中软件没能画出接近根轴的圆。因为共轴圆无限，而软件作图再精细，终归有限。）
3. 以这两个极限点中的一个为反演中心，以任意长度为反演半径，于是得到反演圆。我们就有结论： 原来的两个已知圆，以这个反演圆进行反演，将变换成两个同心圆。这需要多步：(1) 先把过反演中心的圆P反演成不过反演中心的两条直线l1。观看下面的动画，反演圆S1把不过S1的圆P反演成不过S1直线l1。从动画可以大致看出互为反演的点的演变情况。（注意，下面动画中的O'，与之前的O'是两回事。本应该把下面的O'叫做O"的，但动画已做好，不好更改了。特此提醒您注意。）
（2）再过S1和S2两点作一个与P类似的圆P'。同样地，在相同反演下，圆P'被反演成另一条不过S1的直线l2。两条直线l1和l2相交于一点O'。这个交点的原像点是圆P和圆P'（下图中也叫做圆b1和圆b2）除S1外的另一交点S2。所以， 直线l1和l2的交点O'位于直线S1S2上，即位于水平轴上。
（3）下面是最难理解的地方。我们需要事先掌握下面的反演知识：两个正交的圆，经反演后，不管变换成为两个圆、一圆一直线或是两条直线，仍然正交。如下图所示，不过反演中心O的两条相交直线ST1和ST2相交于点S。它们有一个夹角（图中绿色）。两条直线的反演是两个过反演中心的圆（红对红，蓝对蓝）。在反演中心处两圆的切线当然分别与各自的原像直线ST1和ST2平行。两圆的第二个交点S'是S的像点。两个相交圆构成一个轴对称图形，这个像点S'是与点O对称之点，所以，在点S'处两圆切线的夹角与在点O处两圆切线夹角是相等的。而两圆在相交处的夹角是以两圆在这点处的切线的夹角来衡量的。所以，我们得出ST1与ST2的夹角等于反演后直线交点的像点S'处两圆的交角。上面过程反过来也是对的。所以，我们就说，反演不改变夹角的大小。即反演具有保角性。在夹角为直角的特殊情况下，便出现了正交的概念。从而，正交的圆反演后仍然正交。
（4）回到本问题。如下图所示，已知圆c1与圆P是正交的。两个交点分别是C 和D。既然C和D都位于圆P上，所以，可以找出它们位于直线l1上的像点C'和D'（因为原像点、像点与反演中心，三点位于同一条直线上，如下图中橙色线段）。
（5）已知圆c1经反演变换后，仍然变成一个圆，它在点C和D处与圆P正交，所以，在圆P被反演变换成直线后，在C'和D'处，c1变成的像圆在C'和D'处一定与直线l1垂直，所以，C'D'一定是像圆的直径。又因为圆c1及反演圆S1的圆心都在水平轴上，所以，像圆的圆心也一定位于水平轴上。所以，这个像圆的圆心就是点O'。所以，已知圆c1经反演后的像圆就是以点O'为圆心，直径为C'D'的圆（下图中橙色圆）。
（6）同理，与已知圆c1类似，已知圆c2也与圆P和圆P'都正交，所以，经由反演圆S1进行的变换，被变换成与l1和l2正交的圆（上图中红色圆），圆心是两直线的交点O'。
（7）最终，我们便得到，已知圆O1和O2经反演中心位于点S2的反演变换后，变换成为两个同心圆。
