量子力学这么学，成为0.01%—彻底理解概率这件事，掌握核心思想

因此，对于任意的量子态，我们可以用这些特征基的线性组合来展开它，表示处于这些可观测量值的叠加态中。

请注意，在所有这些展开中，量子态是相同的，我们只是用不同的基来展开这个态。现在让我们仔细看看能量特征基的展开。假设已经用能量特征基展开了量子态，那么我们如何找到测量到某个能量值（比如E_4）的概率呢？

为了开始解决这个问题，让我们考虑一个二维向量空间的情况。

假设 1,0 和 0,1 是能量特征基向量，分别对应能量值 2 和 -2。

从直觉上看，我们希望一个非常接近 1,0 的量子态有非常高的概率测量到能量为 2，因为这些状态几乎相同。同样，如果状态非常接近 0,1，我们也希望测量到能量为 -2 的概率非常高。那么如何量化这个想法呢？

如果状态接近一个基向量，那么沿着该方向的向量分量（component）就应该很大。

因此，在这个例子中，状态沿着 0,1 方向的分量很大。因此，得出的结论是，直观上来看，沿某个特征向量的分量越大，得到该特定结果的概率就越大。

让我们遵循这个直觉。为了找到测量到某个能量值（比如E_4）的概率，首先需要找到量子态在E_4特征向量方向上的分量。

你可能还记得，计算分量（即沿某个方向的投影）的方法是与该方向的单位向量做内积。

注意，内积的顺序是有讲究的！我们从ψ态开始，通过应用E_4的对偶态进行投影。

现在展开ψ态，然后分配内积。

由于特征基是相互正交的，唯一非零的内积是E_4与自身的内积，它的结果就是1。

因此，沿E_4的分量就是相应的系数！

我们已经暗示过系数与概率有关，但现在我们看到了原因：系数直观上表示与该特征态有多接近，因此测量它的可能性有多大！

因此，给定一个特征基展开，我们想把得到某个值的概率与该值的相应系数联系起来。

第一个猜测可能是取系数的绝对值。这捕捉到了分量的长度，同时处理了负数的情况。但记住，系数很可能是复数（当我们推导薛定谔方程时，会看到我们需要虚数）。因此，我们可以将这个绝对值推广为复数的模，这仍然能够捕捉分量的长度。

这是一个非常好的初步猜测。事实上，物理学家马克斯·波恩（Max Born）最初也认为这种类似的东西就是概率，但后来才修正为正确答案。那么为什么这是错误的呢？让我们试着直观理解一下，为什么这会导致一些问题。

为了简化起见，假设系数是实数，并且我们处在一个二维的量子向量空间中，因此特征基展开只有两个项。

假设测量特征值的概率等于系数的绝对值。

注意，所有可能结果的概率之和必须等于1。这给我们带来了一个条件，即系数的绝对值之和必须等于1。

由于假设是二维向量空间，所以只需要考虑两个结果。

注意，这个条件实际上意味着量子态的总长度不一定等于1！例如，假设两个特征向量的展开系数都是1/2。概率条件得到了满足，但向量的长度现在是，

这本身不一定是问题，只要总概率条件得到满足。但是，这实际上引入了另一个问题——让我们到二维平面上看一下具体是什么问题。

在这里有一组能量特征基向量，E_1和E_2，用蓝色表示。假设量子态指向1,0。在这个基下，我们可以按如下方式展开状态。

注意，绝对系数之和等于1，因此总概率条件得到了满足。

现在看另一个可观测量，假设角动量特征基向量是L_1和L_2，用红色表示。

当我们将相同的量子态在角动量特征基下展开时，得到如下结果,

注意，绝对系数之和不再等于1！这意味着在这个基下，需要重新缩放量子态，以便系数仍然代表概率。

在重新缩放量子态后，现在得到了系数的绝对值之和等于1。因此，根据我们使用的特征基展开的不同，需要调整量子态的总长度。

这听起来有点奇怪，对吧？在测量能量之前，量子态有一个特定的长度，但在测量角动量之前，它可能有不同的长度……那么，在我们测量任何东西之前，量子态的实际长度是多少呢？为什么它应该依赖于我们所使用的基？如果我们假设一个粒子由一个量子态表示，那么就遇到问题了。

那么我们该如何解决这个难题呢？首先，我们应该质疑概率函数假设，

因此让我们改用一些未知的概率函数f，

希望这个概率函数满足两个条件：

• 首先，无论选择什么概率函数，当我们将与每个结果相关的所有概率加在一起时，它必须等于常数1。

• 其次，我们还希望这个函数确保量子态的长度在任何基下保持不变，

这里我们将常数写作k^2，以确保它是正数。

那么，什么样的概率函数可以同时满足这两个条件呢？根据这两个条件来寻找f，可能看起来很困难，但让我带你走进我的思维过程。当我遇到类似“解出”一个函数的问题时，我的脑子里立刻跳出的是找到f必须满足的微分方程。正如我们用常规方程解数一样，我们几乎总是用微分方程解函数。因此，我们的总体策略是看看这两个条件对f的导数有什么暗示。

在此之前，让我们花点时间分析一下第二个条件，看看所有系数是如何相互关联的。

首先，我们可以为c1选择哪些值呢？唯一的真正约束是

否则左边会大于右边。换句话说，c1的选择是任何介于-k和k之间的数，包括边界值。如果选择c1等于-k或k，那么可以看到，如果要满足这个条件，必须将所有其他系数设置为0。

如果不选择-k或k，那么并没有立即约束所有其他系数。因此，让我们在这个范围内选择一个数A。

将A移到另一边，

那么可以为c2选择哪些值呢？逻辑保持不变：可以为c2选择任何实数，只不过现在只需要确保c2^2小于k^2-A^2。换句话说，c2的选择是介于这些值之间的任何数，包括边界值。

同样，我们假设不接近这个范围的边界，并为c2选择一个值B，

我们可以继续这个过程，对于每个c，得到c3、c4，直到c_n的值范围，

这时，c_n的值该怎么选呢？现在我们没得选了，c_n只能是右边的正负值之一（如果右边是零，那就只有一个值可选），

为什么要如此强调这个过程呢？主要的结论是，大多数c彼此独立。只要不接近边界，选择一个c只会告诉我们其他c可以取值的范围，但它们彼此独立。例外是最后一个c，它总是被限制为两个值之一（或零）。这似乎是个奇怪的结论，但相信我，这实际上是找到f的关键。

最后，再确定一个我们需要用到的f的性质。如果我们相信结果的概率仅仅取决于沿特征向量投影的大小，那么无论投影是沿着特征向量还是反向，只要大小相同，相关的概率就不应改变。从数学上讲，反向投影表现为负系数，因此换句话说，直觉告诉我们，f不应该关心系数是正的还是负的，即f是一个偶函数。

接下来将做一些数学推导，找出f。从第一个条件开始，单独挑出带有最后一个系数的项。

现在，我们可以利用第二个条件解出c_n，并将其代入第二项。然后利用f是偶函数这一事实来去掉正负号。

让我们继续执行最初的想法，看看能从f的导数中得到什么。由于c1是其范围内的独立变量，可以对两边分别对c1求导，并且由于右边是常数，因此右边的结果为零。

这里我们用到了前面的重要结论。记住，除了最后一个系数c_n，其他的c_i都是独立的。它们只在各自的取值范围内影响彼此。因此，在求和中，除了c_1之外的所有项对c_1的变化都没有直接影响，它们是独立的！因此，求和中的所有项都等于零，除了包含c_1的那一项。在我们单独提取出来的项中，我们只需使用链式法则对c1求导，再次利用各c_i彼此独立这一事实。

这是一个微妙的论证，因此要花点时间真正理解我们做了什么。将一些c_1项移到一边，得到了如下结果。

现在，c1并没有什么特殊的地方。我们可以对c2做完全相同的操作，所有相同的论证依然适用，因为c2和c1一样也是独立变量。我们会得到一个类似的方程，只不过左边是c2。

然而请注意，这两个方程的右边是相同的！所以，我们得出这两个量必须相等。

这是一个有趣的关系。在左边，有独立变量c1，而在右边有独立的c2。为了进一步理解这个含义，我们可以对两边再次对c1求导。

让我们来思考右边导数的意义。它表示当改变c1时，看括号里的值会有多大的变化。只要c2在允许的范围内，它就不会随c1的变化而改变，它可以自由地取任意值。因此，这个导数必须等于零，

因为当c1变化时，c2并没有直接变化。这是另一个非常微妙的论点，它是找到f的关键。所以请花点时间确保理解为什么右边的导数必须是零。如果你学习过偏微分方程课程，这和分离变量法中的论证是相同的。

这就是f的微分方程！同样，c1并没有什么特殊之处，我们可以对任何一个c进行相同的操作，因此我们用一个通用的系数c来替代，

让我们继续完成这个推导。左边的总导数等于零，这意味着它必须等于某个常数λ，然后可以重新整理得到这个结果，

现在可以再次对两边进行积分，并得到如下的结果，记住要加上一个积分常数μ。

这是不是很令人兴奋！我们终于看到了概率函数必须依赖于系数的平方！剩下的就是找到积分常数。为此，让我们先思考f(0)应该是多少。换句话说，当相应的特征态的系数为零时，概率应该是多少呢？在这种情况下，量子态在该特征态上的分量为零，因此直观上应该期望相应的概率也是零。所以得到f(0)=0，这让我们得出μ必须为零。

为了确定另一个积分常数，让我们再次回到条件一，

假设c1取最大值k，因此所有其他系数必须为零。由于已经证明f(0)=0，这意味着f(k)必须等于1。将这个条件代入方程，可以得出λ必须等于2/k^2，因此我们得到了最终结果：

给定特征态展开的系数，和该特征态相关的概率必须等于系数平方除以k^2，k^2就是量子态的长度。

注意，我们对k有一些自由选择。唯一的条件是希望量子态在任何基下都具有恒定的长度，但我们有自由选择这个长度是多少。按照惯例，最简单的选择是让量子态长度为1，因此k等于1。

最后，如果有复数系数，那么可以推广为复数的模的平方。

因此，我们得到了以下极为重要的结果：如果我们认为所有量子态的长度为1，那么与特定特征态相关的测量概率就等于在该特征基展开时系数的振幅平方。此外，我们可以通过如下内积来找到系数，因此也可以将这个结果表达为：

这个关于概率的规则被称为波恩规则。许多量子力学教科书将其声明为一个公理，但希望你现在能明白为什么它会出现在我们的数学模型中。尽管我们的推导依赖于直觉，但实际上有一个严格的定理奠定了波恩规则的基础，这就是格里森定理。我不会深入讨论这个严格的定理，但我鼓励你感兴趣的话可以进一步了解。

目前为止，我们一直在处理离散的特征基，但连续的特征基又如何呢？例如，位置有一个连续的特征基，因此特征基展开看起来如下，

那么得到特定位置的概率密度是多少呢？根据波恩规则，位置的概率密度等于对应特征态前系数的平方模。

之前我让你暂时接受这个结论，但现在你应该看到这个系数函数确实就是波函数！那么它和波有何关系呢？为了解答这个问题，我们需要等待推导薛定谔方程的过程。

到此为止，我们已经基本推导出了量子力学数学模型的框架。我们已经涵盖了很多数学内容，因此让我们回顾一下我们推导出的所有内容。

在这个模型中，一个粒子由希尔伯特空间中的一个向量表示，也就是所谓的量子态。我们为这个向量选择了一种特殊的表示方法，称为态矢量。这一量子态包含了关于粒子的所有信息，包括可能的位置、动量、能量等，以及所有相关的测量概率。

另一方面，物理可观测量由向量空间中的线性算符表示。算符的特征值告诉我们如果测量该可观测量，可能得到的所有值。对应的特征向量代表确定的量子态，在这些态中粒子100%拥有该值。

为了计算某个可观测量的概率，我们首先将当前的量子态在该可观测量的特征态中展开为线性组合，特征态可以是离散的或连续的。测量特定值的概率（或概率密度）等于对应特征态前系数的平方模。这就是波恩规则。

当我们测量某个量时，会随机得到一个可能的值，其概率由波恩规则确定。一旦完成测量，我们就知道粒子100%具有该值，因此我们知道它必须处于该确定的特征态中。这被称为“量子态塌缩”，因为测量的行为必然会将粒子塌缩到某个随机的确定特征态中。粒子然后在这个新的确定量子态中继续演化。

这就是量子力学的线性代数框架！量子塌缩的具体机制是量子力学中一个非常神秘且高度争议的部分。现在，我建议你只需理解它在数学上是如何建模的。

来自：老胡科学返回搜狐，查看更多