其中 𝛼 和 β 表示处于任一状态的概率幅。我们可以使用条形图来可视化离散基量子态，该条形图显示了量子比特处于任一基态的概率幅。

量子比特状态处于每个基态的概率幅度图。

量子矩阵力学

量子力学的离散表示由维尔纳·海森堡开创，通常被称为量子力学的矩阵力学表述。这种形式下的计算通常围绕操纵矩阵量来求解矩阵特征值问题。

连续量子态

连续量子态是用一组无限基态表示的量子态。例如，考虑电子等粒子的位置。根据海森堡不确定性原理，粒子的位置不能被任意精度确定。例如，我们不能肯定地说电子固定在x = 2。相反，粒子必须具有处于任何给定位置x 的某种连续概率分布。它有一定的概率处于x = -1、x = 10.5、x = 0等等。位置x现在实际上是一个“基态”，并且由于它是一个连续变量，所以基态集是无限的。这个无限基态集表示为：{|x⟩}。

在这种情况下，量子态由波函数𝚿(x)给出，该函数描述粒子位于空间任意一点的概率幅的连续分布。例如：

局部于 x=0 的粒子的一维高斯波函数图。

如果我们设置一些探测器来尝试测量粒子的位置，那么在x = 0处找到它的概率最高，而且距离越远，找到它的可能性就越小。

量子波力学

当海森堡发展量子力学的离散矩阵力学表述时，埃尔温·薛定谔也同时独立地研究量子力学的连续表示。这种表示后来被称为量子力学的波动力学表述。波动力学通常处理微分方程和连续量，而不是矩阵量和特征值问题。

汉密尔顿主义者

最后，理解薛定谔方程的一个重要概念是哈密顿量。哈密顿量表示系统的总能量，通常由该系统组成粒子的动能与势能之和给出。例如，对于电场中的电子等粒子，哈密顿量算符可以写成如下形式：

我们现在用向量r = <x, y, z>来描述粒子在三维空间中的位置。势能V表示电场对粒子总能量的影响，动能表达式K中的 𝛁² 项表示二阶三维空间导数。

在处理不同的系统时，哈密顿量的形式也可能有很大差异。例如，当考虑离散能级原子系统中的电子时，哈密顿量通常表示为矩阵。例如，一个由三个离散能级E₀、E₁、E₂组成的原子系统可能具有以下哈密顿量：

我们引入的第一种形式的哈密顿量通常是在连续基上处理的，即处理由连续波函数𝚿(x)给出的量子态。相反，上面所示的矩阵形式的哈密顿量通常用于离散基上。

然而，这两种表示形式并不像乍看起来那么不同。事实上，当处理束缚量子态（例如束缚于原子的电子或势阱中的电子）时，哈密顿量的离散矩阵形式便会出现，并且可以从连续微分形式推导出来。量子谐振子就是这一过程的绝佳例子。

总的来说，最重要的思想是，由于哈密顿量描述了量子系统的总能量，它也控制着该量子系统随时间如何演化。换句话说，系统的总能量以及动能和势能之间的相互作用和交换驱动着系统状态的动态和演化。

时间相关薛定谔方程

含时薛定谔方程是薛定谔方程最普遍的形式，所有其他形式都可以从中推导出来。它是一个微分方程，描述系统的量子态如何根据系统的哈密顿量随时间演化。该方程如下：

其中状态向量 |Ψ(t)⟩可以是连续基，也可以是离散基。在离散基中，该方程可以直接使用。但是，为了将上述表达式转换为连续基中的位置表示，我们必须首先注意到波函数 𝚿(r,t) 由下式给出：

其中⟨r| 表示位置基态的复共轭。因此，如果我们将这个复共轭应用于上面的含时薛定谔方程，我们得到：

如果势能V是时间的函数，如上所示，则系统的哈密顿量与时间相关，即H = H(t)。在这种情况下，很难通过解析解微分方程来获得 𝚿(r,t) 的表达式。因此，必须采用近似技术，例如时间相关的微扰理论。然而，这类技术需要专门写一篇文章来阐述，因此本文不再赘述。

推导与时间无关的薛定谔方程

如果我们考虑一种不是时间函数的势能，事情就会变得简单得多，即V(r,t) = V(t)。

因此，该系统的哈密顿量也与时间无关，因此可以得到解析解。在这种情况下，上述偏微分方程的解变得可分离。这意味着它们可以分解为时间函数𝜙(t)与位置函数𝜓(r)的乘积：

如果我们将这个一般形式的解代入上面的时间相关薛定谔方程，我们得到：

变量分离

现在，让我们将所有与时间相关的项放在等式的左边，将所有与位置相关的项放在等式的右边。

这个过程称为变量分离，它意味着方程的两边都等于某个常数E，其量纲为能量[1]。因此，偏微分方程可以分离为两个常微分方程。

时间相关微分方程

这个依赖于时间的常微分方程很容易求解，得到𝜙(t)的表达式。我们首先重新整理得到：

然后代入 Ansatz：

发现：

因此，时间相关常微分方程的解为：

时间无关的薛定谔方程

如果我们重新排列空间相关的常微分方程，我们可以得到以下结果：

最后一个表达式是时间无关的薛定谔方程的连续位置表示。它可以写成更一般的形式：

其中 |𝜓⟩ 是哈密顿量的特征态， E是相应的能量特征值。

在连续基中，求解 𝜓(r)涉及求解微分方程。而在离散基中，求解 |𝜓⟩ 则相当于求解矩阵特征值问题。

持续的解决方案

总体而言，当以连续方式工作时，解决方案是通过结合时间相关微分方程和时间无关薛定谔方程的单独解来给出的：

对于与时间无关的哈密顿量的情况，这些解被称为稳态。

离散基础的解决方案

离散基的解可以通过另一种方法获得。首先，我们声明量子态的时间演化可以用线性幺正算子或矩阵U来描述，它从t = 0 时的某个初始状态 𝜓 演化到稍后时间t时的状态 𝜓。

如果我们将其代入时间相关薛定谔方程，我们得到：

现在，我们可以轻松地解上面的微分方程，得到幺正演化算子的表达式。我们代入拟设式：

重新排列可得：

因此，幺正演化算子由下式给出：

经过一段时间t之后的量子态由下式给出：

由于与时间无关的薛定谔方程表明，对于哈密顿量的特征态，我们有：

然后，如果初始状态 |𝜓(0)⟩是哈密顿量的特征态，则一段时间t后的量子态表达式变为：

其中E是与特征态相关的能量特征值。我们可以看出，这个表达式类似于连续基中的稳态解。事实上，我们所说的连续基中的稳态，实际上等价于离散基中的特征态。

更多通用解决方案

任意状态总是可以分解为特征态或静止态的加权和，系数为cₙ。

因此，对于任意状态，具有与时间无关的哈密顿量的薛定谔方程的最终解如下：

其中Eₙ是与每个本征态或定态相关的能量本征值。

结论

薛定谔方程是一个微分方程，描述系统量子态随时间的变化。该方程最普遍的形式是含时薛定谔方程：

如果哈密顿量与时间相关，则无法找到解析解，必须采用诸如时间相关微扰理论等近似技术。

然而，如果哈密顿量与时间无关，就像势能V与时间无关的情况一样，那么我们就会得到与时间无关的薛定谔方程。

解是定态，或者等效地，是哈密顿量的本征态。整体解由下式给出：

或者更一般地，对于任意状态：

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