多粒子系统的态表示
对于由 N 个全同粒子（如原子中的 N 个电子）组成的系统，其量子态由单粒子态的张量积表示：
其中 (i1,i2,…,iN) 是 (1,2,…,N)的任意排列。每个单粒子态 ξi包含空间坐标 xi和自旋 si。
交换算符与对称性要求
- 交换算符 Pij：交换粒子 i 和 j 的位置
即
两次交换恢复原态，因此本征值只能是 ±1。
可观察量的对称性要求
设 A 是系统的一个物理可观察量，对应厄米算符。物理要求是：如果你换了粒子编号，对观测结果没有影响。也就是说：
而
这要求 A与所有排列算符对易：
对称态的构造（Bosons）
对于由 N 个相同粒子组成的系统，我们可以定义一个完全对称的态向量为：
这个表达式的物理意义是：把所有粒子的状态进行所有可能的交换，然后平均，得到的就是完全对称态。这正是玻色子（如光子）系统的态必须满足的条件。
对称性的证明
我们要证明只存在维一的对称态，即对称态的任意交换仍是其本身：
证明：
由定义，
对这个表达式施加一个任意置换算符 Pα：
其中使用了 γ=α∘β 重新编号求和项，而所有置换形成的群在乘法下是封闭的，所以求和仍然遍历了所有 N!个置换。
反对称态的构造（Fermions）
对于费米子系统（如电子），态必须在任意两个粒子交换下变号。这种状态称为反对称态：
- πβ：排列 Pβ的逆序数（即需要多少次交换变换得到），奇排列为 1，偶排列为 0。
- (-1)^πβ：表示置换的符号：奇数置换变号，偶数置换不变号。
我们可以重写反对称态：
假设两个粒子在相同单粒子态：
❗️“两个相同的费米子不可能处于完全相同的量子态中。”返回搜狐，查看更多