查尔斯费弗曼(Charles Louis Fefferman), 1949年出生, 美国数学家, 1978年获得菲尔兹奖, 2017年获得沃尔夫数学奖. 他在多个领域做出重大贡献, 包括多复变函数、偏微分方程和次椭圆问题. 他将新的基本技术引入调和分析, 并探索了它们在流体动力学、谱几何和数学物理等领域的广泛应用. 这对经典方程(如Navier-Stokes方程和Euler方程)的正则性问题产生了重大影响. 他还解决了与偏微分方程解的精细结构有关的主要问题.
查尔斯费弗曼
神童
费弗曼1949年出生于美国马里兰州的银泉市(silver spring), 父亲是一名经济学家, 为政府部门工作, 母亲出生于德国, 是一名家庭主妇. 费弗曼九岁的时候与数学结缘, 由于对科学感兴趣, 尤其想知道火箭的工作原理, 就从图书馆借了一本物理书, 可是看不懂. 父亲告诉他这是因为书中有一些他不了解的数学内容. 于是给他买来小学四年级的数学课本, 费弗曼大概两天就读完了整本书, 然后向他父亲要下一本数学书. 父亲不相信他在如此短的时间就能把整本书看完, 就考了他几个问题, 发现他确实读懂了, 就给他买了下一个年级的数学课本. 这种情况一直持续到费弗曼读完微积分, 那时他大约十一岁. 这个时候费弗曼的父亲发现自己已经无法指导儿子了.
父亲带他去上马里兰大学的数学教授吉姆胡默尔(Jim Hummel)的私人课程, 费弗曼觉得吉姆的课比他读过的课本有趣得多, 他们讨论初等数论, 吉姆会提出一些猜想, 费弗曼试图在课间解决这些猜想, 通常他会失败, 但每一次小小的成功都让他感到快乐, 他觉得自己学到了很多. 后来吉姆把费弗曼介绍给马里兰大学数学系主任莱昂科恩(Leon Cohen). 科恩安排费弗曼在马里兰大学听一年级的数学课. 在那之后的几年里, 莱昂安排费弗曼跳过高中, 在1963年作为大一新生进入马里兰大学.
在马里兰大学学习的第二年, 费弗曼写了他的第一篇数学论文. 事情是这样的, 当时系里有一位出色的数理逻辑教授: 卡罗尔卡普(Carol Karp), 她对如果你能用无限长的句子说话, 你会说什么很感兴趣. 有一个问题是, 根据无限长句子中的无限类型, 可以区分多少不同的事物. 费弗曼本应在课堂上展示一个非常复杂的解决方案, 但他无法理解这个非常复杂的证明, 所以考虑了自己的证明. 卡普非常支持他, 她说: “你怎么不把它写下来?让我们把它发到期刊上, 看看会发生什么?”它被接受了, 发表在期刊《Mathematical Logic Quarterly》上.
普林斯顿
1966年, 费弗曼本科毕业了, 他来到普林斯顿读研究生. 普林斯顿数学系对研究生来说是一个非常特殊的地方. 许多学生都很聪明, 他们经常互相学习, 也经常向杰出的教师学习. 一个好的导师为学生指明一个富有成效的方向是至关重要的. 对于费弗曼来说, 他很幸运遇到了一位无与伦比的老师埃利亚斯斯坦(Elias Stein).
中间的是Elias Stein, 左边是Charles Louis Fefferman, 右边是Charles Louis Fefferman的弟弟Robert Fefferman, 他也是一名数学家.
与斯坦相见是在1967年的秋天. 那时费弗曼已经通过博士资格考试, 准备做博士论文, 他想跟随斯坦做论文. 当时, 后来被称为“Calderón-Zygmund范式”的方法已经证明非常成功, 将部分调和分析从对复杂方法的严重依赖中解放出来, 并将其引向更高维度的开放视野, 带来了新的挑战和可能性. 一个特别让斯坦着迷的问题是, 如何开发进一步的方法来证明估值, 特别是临界极限指数可能大于. Littlewood-Paley平方函数理论中出现了一个这样的问题, 斯坦向费弗曼提出了这个问题, 他急于看看这个有前途的18岁孩子能做什么. 令斯坦惊讶的是, 短短几周费弗曼就做出了证明, 而且他的方法可以应用于各种其他问题. 因此斯坦毫不犹豫第敦促费弗曼研究一个自己多年来一直关心的一个重大问题: Bochner-Riesz平均(Bochner-Riesz means). 费弗曼取得了惊人的成功, 得出了一个非凡的结论.
1969年费弗曼获得博士学位. 费弗曼对论文导师斯坦充满感激之情, 认为斯坦对他产生了巨大的影响, 是世界上最好的高等数学老师, 并且影响了他所学到的东西, 形成了他的品味, 教会了他面对困难时的乐观精神. 费弗曼记得有一次他和斯坦要用到哈代(Godfrey Harold Hardy)和利特尔伍德(John Edensor Littlewood)的一个不等式, 但不知道这个不等式是如何证明的. 他们去了图书馆, 不巧的是哈代的书都被借走了. 费弗曼心想他们得等到那些书还回来了. 但斯坦说:“没关系，如果哈代和利特尔伍德能证明这一点, 那么我们也能证明.”他俩回到办公室, 几个小时后就得到了证明. “你能做到的精神-----斯坦能给你.”
1970年费弗曼在普林斯顿大学做了一年讲师, 随后来到芝加哥大学. 芝加哥数学分析学派是1950年代由安托尼吉格曼德(Antoni Zygmund)与艾尔伯特卡德隆(Alberto Calder'on)在芝加哥大学创立的数学研究学派, 被公认为“当代数学界最强的分析研究学派”. 该学派以调和分析、奇异积分方程等领域的突破性研究著称, 其创始人吉格曼德作为芝加哥大学数学系教授(1947-1980年任职), 培养出包括卡德隆在内的多位分析学家, 形成了具有全球影响力的学术传承体系. 费弗曼遇到了吉格曼德, 后者几乎立刻向他提出了一个问题: 有界平均振动空间(BMO)的泊松积分特征是什么? 这个问题促使费弗曼对有界平均振动空间进行了更多的思考, 最终提出并证明了著名的-BMO对偶. 吉格曼德认为在他的研究领域内只有两、三个人可以与费弗曼相提并论.
在芝加哥的时候费弗曼在数学上非常活跃, 他的师弟陶哲轩(二人获得博士学位的时间相隔27年)在一篇文章中指出:“在1970年代初, 费弗曼在振荡奇异积分理论中做出了许多重要而基本的贡献, 对振荡奇异积分的研究可以从确定傅里叶级数和傅里叶积分收敛性质的经典问题中得到启发, 此后, 它与许多其他数学领域有着显著的联系和应用, 包括偏微分方程、解析数论和几何测度理论. ”
第一排中间是斯坦, 第二排左起第二人是陶哲轩
1971年费弗曼晋升为芝加哥大学的正教授, 多家报纸报道了这位美国有史以来最年轻的正教授. 1973年费弗曼回到普林斯顿大学担任正教授, 1999年至2002年, 他担任数学系主任.
挂谷猜想
挂谷猜想(Kakeya conjecture), 源于1917年挂谷宗一(Soichi Kakeya)提出的平面几何问题: 长度为的线段在二维平面上旋转度所需覆盖的最小面积. 1928年贝西科维奇(Abram Besicovitch)突破性地构造出面积无限趋近于零的解答, 推动该问题发展为高维空间中关于挂谷集(Kakeya set)维数的核心猜想. 1971年费弗曼揭示了挂谷猜想与调和分析、数论的理论关联, 使该猜想成为数学交叉领域的重要课题. 费弗曼在Numberphile上针对原始版本的挂谷问题给过一个很通俗的报告, 大家在bilibili网站上可以看到.
关于傅里叶分析和几何测度论之间的联系, 费弗曼自己是这样说的:“挂谷集与傅里叶分析之间的一个联系. 平面中的挂谷集具有奇特的形状. 你可以将一枚细针在一个挂谷集的内部翻转一周; 而这个挂谷集的面积可以要多小就有多小. 傅里叶分析研究复杂的振动如何分解为简单的振动.例如, 小提琴弦的复杂运动由根音、第一泛音、第二泛音等构成. 如果将高频部分移去, 小提琴的音调就会降低. 部分原因是, 小提琴是一维的. 照片是一个二维的影像, 也是由类似于琴弦的根音和泛音这样的简单片段构成. 由于照片是二维的, 它可能无法对焦, 而当截去高频部分时又会突然精准对焦. 这是因为挂谷集的存在. 我在20世纪70年代的发现了这一点. 二维以上空间的挂谷集继续呈现了具有挑战性的问题. ”
2025年2月, 纽约大学的王虹和加拿大不列颠哥伦比亚大学的Joshua Zahl(陶哲轩的学生)发布了一篇127页的预印本论文, 解决了三维挂谷猜想. 该证明融合了调和分析的Wolff公理、组合数学的重叠计数规则以及多尺度分析技术. 陶哲轩评价其论证过程“充满魔幻色彩的永动机式推导”, 开辟了几何测度论的新研究范式.
王虹和Zahl的文章使用了Cordoba型的方法, 王虹今年6月份在北大做了三次报告, 其摘要中也提到了Cordoba argument. Cordoba是费弗曼带的第一个博士生Antonio Cordoba, 1974年获得博士学位. Antonio Cordoba回忆:“1971-1972学年, 我是一名一年级研究生. 卡尔德隆-齐格蒙德研讨会可能是我们第一次相识的地方. 在那个学年结束时, 查理同意做我的论文导师. 让我补充一点, 对我来说, 这是一次美妙的经历；我们年龄相仿, 那时我们成了亲密的朋友. 我们在埃克哈德大厅的地下室一起打乒乓球, 就科学、艺术、电影、音乐、政治, 当然还有数学进行了长时间的交谈. ”
非常巧合的是在24年后也就是1998年Antonio Cordoba的儿子Diego Cordoba作为费弗曼的博士生获得了学位.
Cordoba父子与费弗曼的合影
家庭
1974年10月, 费弗曼结识了朱莉安妮阿尔伯特. 她和费弗曼一样, 都是神童, 但朱莉是音乐天才.
1980年, 费弗曼和妻子朱莉在普林斯顿的家门口.
她九岁时在茱莉亚音乐学院学习小提琴, 当费弗曼遇见她时, 她正在纽约的一所高中教音乐. 他们于1975年结婚, 当时朱莉放弃了她的教学事业. 他们有两个女儿, 妮娜海蒂费弗曼和莱妮费弗曼.
1983年, 费弗曼和女儿妮娜(红衣)、莱妮.
妮娜成为了一名计算生物学家, 她将数学应用于模拟复杂的生物系统. 莱妮学习音乐, 获得普林斯顿大学博士学位, 是一位全国知名的作曲家. 2015年毕业典礼上莱妮选择让她的父亲为她戴上博士帽, 因为正是父亲对音乐的热爱启发了她的道路. 莱妮的博士论文的最后几章研究了奥地利作曲家弗朗茨舒伯特(Franz Schubert)的声乐套曲《冬之旅》(Winterreise), 这是她父亲在童年时期的一个心爱的收藏. 她说：“我爸爸非常欣赏美-----好数学的优雅和他周围世界的美学.”
费弗曼谈科研
“我花了很多年研究关于原子的数学问题. 任何一本量子力学书都会解释为何一个电子与一个质子联合而成一个氢原子. 但书上不会告诉你为何数以万计的电子与数以万计的质子一起联合成数以万计的氢原子. 这是一个困难得多的问题, 需要许多数学; 完全的解答仍然未知. 我的贡献是, 将这个问题归结为对系统能量得估计.”
“我喜欢在沙发上躺上几个小时, 专注地思考形状、关系和变化, 很少思考数字本身. 我在脑海中探索一个又一个想法, 丢弃了大部分.当一个概念最终看起来有希望时, 我准备在纸上尝试一下. 新想法不容易找到. 如果你足够幸运, 正在研究一个真正正确的想法, 那么你可能需要很长时间才能知道它是正确的. 相反, 如果你走上了一条死胡同, 也可能需要很长时间才能发现. 你最终可能会说:‘哎呀, 我多年来一直在研究一些错误的东西.’一个好的数学家必须有勇气接受做了大量的工作却要把它扔掉.”
“我没有去选择问题; 是问题选择了我. 问题会吸引我, 让我理所应当地为之思索几年或几十年. 有时我得到错误的想法. 错误的想法好比锅里的原料. 加了充分多的原料以后就可以熬汤了. 如果运气好, 味道就不错.”
参考文献
[1] Antonio Cordoba, et al., Ad honorem Charles Fefferman, Notices of the American Mathematical Society 64 (2017), No. 11, pp. 1254-1274.
[2] https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fefferman/
[3] 玛丽安娜库克, 当代大数学家画传, 上海: 上海科学技术出版社, 2023.返回搜狐，查看更多