数学家们一直想弄明白一类重要的微分方程，它们能描述从水压到人体组织含氧量在内的许多现象。最近，他们终于取得了突破。
无论是研究飞机机翼周围的气流、桥梁的应力分布，还是其他各类问题，研究人员都会用到椭圆偏微分方程。这类方程出了名的难解。
引言
风暴的路径、股价的波动、疾病的传播——凡是随时间或空间变化的自然现象，数学家都可以用所谓的“偏微分方程”来描述。但问题是：这些方程通常复杂到不可能直接求出精确解。
于是数学家们想出了一个巧妙的办法：虽然不一定能算出方程的解，但可以尝试证明这个解是“正则”的，或者说性质良好——比如，它的值不会出现物理上不可能的突然跳跃。只要解是正则的，就能用各种工具去逼近它，从而理解想要研究的现象。
然而，许多描述实际现象的偏微分方程依然令人束手无策。数学家一直无法证明它们的解是正则的。特别是其中一部分方程，属于那个学界花费百年建立理论、却始终无法完全覆盖的类别——仿佛一堵墙挡在了前面。
如今，两位意大利数学家终于打破了这堵墙。他们将原有理论扩展到了那些更复杂的方程上。去年夏天发表的这篇论文，标志着一项雄心勃勃的计划走向成熟。从此，科学家终于能用数学工具去描述那些长期无法分析的现实现象了。
是“温顺”还是“顽劣”？
火山喷发时，炽热混乱的熔岩在地表奔流。但几小时、几天或更久之后，它会冷却下来，进入一种平衡状态。尽管在整片熔岩覆盖的区域中，各处温度可能不同，但每一点的温度不再随时间变化。
类似这样“在空间变化、却不随时间变化”的系统——比如平衡后熔岩的温度、组织中养分的分布、肥皂膜的形态——数学家就用椭圆偏微分方程来建模。
类似这样“在空间变化、却不随时间变化”的系统——比如平衡后熔岩的温度、组织中养分的分布、肥皂膜的形态——数学家就用椭圆偏微分方程来建模。
这类方程描述的是在空间分布上变化、但不随时间改变的物理量，例如岩石中水流的压力、桥梁的应力分布，或肿瘤内营养物质的扩散。
但椭圆偏微分方程的解非常复杂。以熔岩为例，方程的解需要给出在特定初始条件下每一点的温度，这涉及大量相互作用的变量。
即使无法写出精确解，研究人员仍希望找到近似解。不过，他们所用的方法只有在解是“正则”时才好用——也就是说，解不能有突然的跳跃或转折（比如熔岩温度不可能在相邻两点急剧飙升）。里斯本大学的Makson Santos说：“如果出问题，很可能就是因为解不够正则。”
上世纪30年代，波兰数学家Juliusz Schauder试图找出保证椭圆偏微分方程的解具有正则性的最低条件。他证明，在大多数情况下，只需确保方程内在的规则（比如熔岩中热传导的规律）从一点到另一点的变化不会太剧烈即可。
在Schauder之后几十年里，数学家们证明，这个条件足以保证任何描述“均匀”材料的方程都具有正则解。在这样的材料中，基础物理规则的变化幅度有限。例如，假设熔岩完全均匀，那么热量的传导速度总会落在某个范围内，不会过快或过慢。
但真实的熔岩其实是熔融岩石、溶解气体和晶体的混合体，并不均匀。在这种非均匀材料中，你无法控制极端情况，热量在不同位置的传导速度可能会有巨大差异：有些区域导热极好，有些则极差。此时，你就需要用“非均匀椭圆”偏微分方程来描述它。
遗憾的是，几十年里，没人能证明Schauder的理论也适用于这类方程。
“现实世界恰恰是非均匀的，”意大利帕尔马大学的数学家Giuseppe Mingione说。这意味着数学家的研究卡在了这里。他想弄明白为什么。
时光机
2000年8月，28岁、刚刚博士毕业的Mingione在俄罗斯一个陈旧度假村参加微分方程会议。某个晚上，他闲着无事，便开始读起旅途中结识的数学家Vasiliĭ Vasil’evich Zhikov的论文。他突然意识到，一些看起来性质良好的非均匀椭圆方程，即便满足Schauder提出的条件，仍可能产生非正则的解。Schauder的理论在非均匀情形下不仅仅是“更难证明”，而是需要被修正。
Giuseppe Mingione协助完成了他20年前提出的一个猜想的证明。他将最终的证明称为“绝望中的奇迹”。
回到意大利后，他与两位同事合作提出：非均匀椭圆方程需要满足一个额外条件，才能保证解的正则性。不仅热传导规则需要逐点平缓变化，而且这些变化必须受到严格约束，以应对材料的不均匀性。他们特别指出：材料越不均匀，这种约束就必须越严格。他们用一个不等式来表达这个条件，为系统能容忍的“不均匀程度”划定了一条明确界线。
他们证明，对于那些不满足该不等式的方程，无法保证解是正则的。但他们却无法证明，这个不等式恰恰就是解从“正则”转变为“可能非正则”的临界点。Mingione为此钻研多年，一无所获，最终只得放弃。
近二十年过去了。2017年，一年级研究生Cristiana De Filippis听说了这项将Schauder理论拓展至非均匀椭圆方程的研究。一些更有经验的数学家劝她别碰这个难题，但她没有听从，反而主动联系了Mingione。在一次深夜的Skype通话中，她告诉Mingione，自己对于如何证明他的猜想有一些思路，并决心从他止步的地方继续前进。
Cristiana De Filippis一直在发展一套广泛的理论，以更好地理解偏微分方程的解，并将目光投向越来越复杂的案例。
“那就像一台时光机，”Mingione回忆道，“就像遇见了二十年前的自己，来敲我思维的门。”
他说，正是De Filippis“全新的能量、热情和坚信这事能成的信念”，说服他重启了那个尘封已久的 证明计划。
奇迹
证明偏微分方程的解具有正则性的关键，在于证明它总是以受控的方式变化。数学家通过观察一个描述解在每个点上变化速度的特殊函数——即“梯度”——来实现这一点。他们需要证明，这个梯度值不会变得过大。
但就像通常无法直接求解方程一样，通常也无法直接计算梯度。
波兰数学家Juliusz Schauder致力于探究：物理系统的模型何时能够准确地反映现实情况，何时又无法做到。
于是，De Filippis和Mingione从原始方程推导出一个他们称为“幽灵方程”的中间产物——它像是真实所需信息的一个影子。
这正是Mingione几十年前卡住的地方。但De Filippis想到了一个精炼“幽灵方程”的方法，从而能更清晰地窥见原方程的面貌。通过一个漫长、多步骤的过程，两人成功从“幽灵方程”中提取出足够信息，还原出了梯度。
“这种做法有点异想天开，”德国比勒费尔德大学的Simon Nowak评论道，“但它奏效了，而且相当优美。”
接下来，他们必须证明这个还原出的梯度不会过大。他们将其拆分成小块，并证明每一块的大小都不超过特定范围。这耗费了巨大的精力：哪怕对其中一块的估计有微小误差，都会影响对整个梯度的判断，让他们偏离想要证明的目标阈值。
在2022年的一篇预印本论文中，他们成功控制了所有这些“小块”，足以证明大多数满足Mingione不等式的非均匀椭圆方程必然具有正则解。但仍有一部分方程未能涵盖。为了完整证明猜想，他们必须对梯度各部分的界限做出更精确的估计，没有任何误差空间。这导致他们不得不一次次重新开始——De Filippis称之为“一场无止境的游戏”。但最终，他们证明了Mingione几十年前预测的那个阈值，分毫不差。
Mingione说，这简直是“绝境中诞生的奇迹”。
De Filippis和Mingione不仅完成了一项跨越百年的研究计划，还让数学家们终于能够去研究那些复杂的真实过程——而此前，这些过程只能用过度简化的方程来近似描述。
研究人员也兴奋地期待将他们的方法应用于其他类型的偏微分方程，包括那些同时随空间和时间变化的方程。“神奇之处在于，他们将所有这些深刻的理论整合到一个框架下，然后‘挤’出了证明，”赫尔辛基大学的Tuomo Kuusi说道。
偏微分方程在数学分析上一向以艰深著称。如今，它们变得稍微“温顺”了一点点。在它们背后，De Filippis说，“还隐藏着一个巨大的现实世界”，等待人们去解释。
来源｜Quanta Magazine及网络公开信息返回搜狐，查看更多